Parameterabhängige Reihenkonvergenz

02.12.2016, 15:48	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
Parameterabhängige Reihenkonvergenz Hallo, Sei $\begin{eqnarray} a_n:=\begin{cases}\frac{1}{n^{3/2}}, & n \ \text{gerade}\\ \frac{1}{n^{1/2}}, & n \ \text{ungerade}\end{cases} \end{eqnarray}$ Konvergiert oder divergiert die Reihe $\begin{eqnarray} \int_{n=1}^\infty (-1)^n a_n \end{eqnarray}$ ? Lösung: Folgende Lösung ist falsch, aber wieso? Wir verwenden das Leibniz-Kriterum. Da beide Teilfolgen eine Wurzel sind, ist klar, dass $\begin{eqnarray} a_n \geq 0 \ \forall n \end{eqnarray}$ . Wir betrachten die Teilfolgen $\begin{eqnarray} b_n:=\frac{1}{n^{3/2}}, \quad c_n:=\frac{1}{n^{1/2}} \end{eqnarray}$ Da die n-the Wurzel wächst, sieht man leicht, dass: (1) $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty} b_n = 0 = \lim_{n\to\infty} c_n \quad \Rightarrow \quad \lim{n\to\infty}a_n=0 \end{eqnarray}$ Aus Begründung (1) ist klar, dass die beiden Teilfolgen für alle n fallen. Somit haben wir: 1) $\begin{eqnarray} a_n\geq 0 \forall n \end{eqnarray}$ 2) $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty} a_n = 0 \end{eqnarray}$ 3) $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ mon. fallend ------------------------------ So, ich gebe zu, das ganze ist das beste Übel was mir einfiel. Meine Gedanken dazu: Ich denke, Bedingung 1) ist wirklich klar. Bedingung 2) sollte so auch stimmen, da bin ich mir sicher. Wir wissen aber: Eine Reihe defineirt über eine Nullfolge muss nicht konvergieren. [Bsp: harm. Reihe] Der Knackpunkt ist also wohl 3). Es macht intuitiv Sinn, dass man zu den Bedingungen 1) 2) noch 3) braucht. Wenn die Folge nicht monoton! fällt, kanns ja sein, dass sie zwischendurch immer wieder was aufaddiert. [Stelle ich mir zumindest so vor]. Soweit ist meine Analyse korrekt, oder? Für monotones fallen muss gelten: $\begin{eqnarray} a_{n+1}\leq a_n \end{eqnarray}$ . Wir wählen n gerade und sehen: $\begin{eqnarray} a_{n+1}=\frac{1}{n^{1/2}}>\frac{1}{n^{3/2}}=a_n \end{eqnarray}$ somit gilt $\begin{eqnarray} a_{n+1}\leq a_n \end{eqnarray}$ . nicht für alle n und somit ist $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ nicht monoton fallend. Wir wissen jetzt, dass das Leibniz-Kriterium hierfür nicht taugt. Daraus lässt sich aber nicht folgern, dass die Reihe divergiert, oder?
02.12.2016, 20:20	Matt Eagle	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Parameterabhängige Reihenkonvergenz Deine Überlegungen sind dahingehend richtig, dass Du festgestellt hast dass das Leibnizkriterium hier nicht zum Zuge kommen kann aber daraus alleine noch keine Divergenz gefolgert werden kann. Offenbar gilt ja: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{2n} a_k=\sum_{k=1}^n\left(\frac 1{\sqrt{(2k)^3}}-\frac 1{\sqrt{2k-1}}\right). \end{eqnarray}$ Zeige nun die Divergenz von $\begin{eqnarray} \sum\frac 1{\sqrt{2k-1}} \end{eqnarray}$ und die Konvergenz von $\begin{eqnarray} \sum\frac 1{\sqrt{(2k)^3}} \end{eqnarray}$ um im Sinne der Aufgabenstellung folgern zu können.
06.12.2016, 10:29	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
danke - ich schau mir das nochmal an.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »