Quadratische Gleichung im Restklassenring

02.12.2016, 16:22

Kaiuwe97

Quadratische Gleichung im Restklassenring

Meine Frage:
Hallo,
ich soll alle möglichen x der Gleichung:
$\begin{eqnarray*} {x^2} + \overline 9 x + \overline {10} = \overline 0 \end{eqnarray*}$
im Restklassenring von Z modulo 25.
Ich bin schon recht weit, aber ich komme einfach bei der Wurzel nicht weiter. Bitte schaut mal auf meinen Lösungsansatz:
$\begin{eqnarray*} \begin{gathered} {x^2} + 9x + 10 \equiv 0(22) \hfill \\ {x_{1/2}} \equiv \frac{{ - 9 \pm \sqrt {81 - 40} }}{2} \equiv \frac{{ - 9 \pm \sqrt {41} }}{2} \equiv \frac{{ - 9 \pm \sqrt {16} }}{2}(25) \hfill \\ \Rightarrow W = \sqrt {16} \Rightarrow W*W \equiv 16(25) \hfill \\ \Rightarrow W = \ldots \hfill \\ \end{gathered} \end{eqnarray*}$
Fällt jemanden ein eine Zahl ein deren Quadrat modulo 25, 16 ergibt?
oder habe ich Wurzel(41) kongruent Wurzel(16) falsch geschlossen?
41 ist doch in der gleichen Restklasse wie 16 oder?
Ich wäre sehr dankbar für Tipps!

Meine Ideen:
...

02.12.2016, 18:04

Kaiuwe97

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Ich hab jetzt doch noch zwei w gefunden.
Diese wäre 24 und 29.
Aber 29 geht nicht oder? Weil ja modulo 25 gilt???

02.12.2016, 18:22

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Zitat:

Original von Kaiuwe97
Aber 29 geht nicht oder? Weil ja modulo 25 gilt???

Hat dich doch bei der 41 auch nicht aufgehalten Augenzwinkern

Die 24 ist sicher falsch. Warum nicht das offensichtliche? $\begin{eqnarray*} \pm4 \end{eqnarray*}$

Ich finde dein Vorgehen ziemlich hemdsärmlig. Hast du dir überhaupt überlegt, was $\begin{eqnarray*} \frac 1 2 \end{eqnarray*}$ hier überhaupt sein soll?

02.12.2016, 18:42

Kaiuwe97

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ja hast recht 16 geht auch ;D
Tschuldigung ich hab mich verschrieben. Ich meine 21.
21*21=441
441 mod 100 = 16

Also gehen 4 und 21 oder?
und alles über 25 (also auch 29) geht nicht, weil es keine Restklasse gibt die größer als 25 ist.

Ich weiß auch das 1/2 für + und - stehen. (So blöd bin ich auch wieder nicht)

02.12.2016, 18:48

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Modulo 25 gilt $\begin{eqnarray*} \overline{4}=\overline{29} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overline{-4}=\overline{21} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Kaiuwe97
Ich weiß auch das 1/2 für + und - stehen. (So blöd bin ich auch wieder nicht)

Ich verstehe nicht, was du damit meinst.

02.12.2016, 18:55

Kaiuwe97

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- Hast du dir überhaupt überlegt, was $\begin{eqnarray*} \frac 1 2 \end{eqnarray*}$ hier überhaupt sein soll?
Ich dachte du hast bezweifelt ob ich weiß was das x 1/2 bedeutet.
Was meintest du dann?

-> Ok also reicht es wenn ich die 4 beachte, weil -4 und 21 in der gleichen Restklasse sind.

02.12.2016, 19:00

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Ich hatte in der Tat meine Zweifel, dass du das weißt. Um so besser, wenn ich mich geirrt habe.

02.12.2016, 19:58

Kaiuwe97

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jetzt hab ich doch noch eine Frage.
Wenn ich +4 einsetze erhalte ich 2.5
und wenn ich -4 einsetze erhalte ich -6.5
Aber es kann doch keine kommazahlen als Ergebnis geben, oder?
Das würde ja bedeuten das es rationale Reste gibt.
Kann ich auch einfach rechnen:
-9+4=-5
und da -5=20 (25) gilt
20/2=10?

02.12.2016, 21:59

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Offenbar waren meine Zweifel berechtigt.
Das kannst du so machen.

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