Flussintegral mittels Satz von Gauss

02.12.2016, 17:09	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
Flussintegral mittels Satz von Gauss Hallo, Sei $\begin{eqnarray} n\geq 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{V}(x,y,z)=\begin{pmatrix}z^n-y^n\\x^n-z^n\\y^n-x^n\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} S:=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3 \| x^2+y^2+z^2=1, z\geq 0\} \end{eqnarray}$ die obere Hälfte der Sphäre. Berechne $\begin{eqnarray} \int_S \vec{V} \cdot d\vec{\sigma} \end{eqnarray}$ Lösung: Wir nutzen den Satz von Gauss. $\begin{eqnarray} div(\vec{V})=...=0 \end{eqnarray}$ Somit $\begin{eqnarray} \int_S\vec{V}\cdot d\vec{\sigma}=\int_{S^{}} div(\vec{V}) d\mu = \int_S^{} 0 d\mu = 0 \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} S^{} \end{eqnarray}$ das geschlossene volumen der Halbkugel $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ ist. Frage 1: Darf ich das so machen? Es ist ja bekannt, das man beim Gauss die Fläche schliessen kann. Ich dachte mir aber, da die Divergenz sowieso null ist, kann ich mir die Mühe, den "Deckel" noch als Menge hinzuschreiben und die zwei Integral zu addieren, sparen. Ich würde Behaupten: Ist die divergenz 0, so ist der Fluss null - unabhängig von der Fläche. Sprich: Eigentlich wäre die Aufgabe nach dem berechnen der Divergenz gelöst gewesen, nicht?* Frage 2: Stimmt mein Integral das ich hingeschrieben habe so? Darf ich einfach $\begin{eqnarray} d\mu \end{eqnarray}$ nehmen?
06.12.2016, 10:28	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
Keiner? :o Ich frage mich halt echt, ob sich eine Berechnugn bei div=0 überhaupt lohnt - ich denke nicht, dass wir irgendwelche spezialfälle haben die gegen den Divergenzsatz verstossen.
06.12.2016, 10:46	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Flussintegral mittels Satz von Gauss 1) Stimmt so nicht. Schreiben wir $\begin{eqnarray} D = \{ (x,y, 0) : x^2 + y^2 \leq 1 \} \end{eqnarray}$ als den Deckel, so hast du $\begin{eqnarray} \int_{S \cup D} \vec{V}\cdot d\vec{\sigma}=\int_{S^{}} div(\vec{V}) d\mu = \int_{S^{}} 0 d\mu = 0 \end{eqnarray}$ . Damit hast du das Integral über $\begin{eqnarray} S \cup D \end{eqnarray}$ berechnet, nicht wie gefordert über $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ . Daraus folgt netterweise aber $\begin{eqnarray} \int_S \vec V \cdot d \vec \sigma = - \int_D \vec V \cdot d \vec \sigma \end{eqnarray}$ und die Normal von $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ ist einfach gegeben durch den konstanten Vektor $\begin{eqnarray} -e_3 \end{eqnarray}$ . Ohne zu wissen, dass das Integral 0 ist, kannst du deine Aussage nicht folgern. 2) Wenn $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ das 3-dimensionale Lebesgue-Maß ist, sagt dir der Satz von Gauß, dass man es darf.
07.12.2016, 13:47	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe nicht ganz. Gefordert ist, das Integral über S zu berechnen. Das macht man mittels gauss. Nun muss man aber S schliessen, sonst klapt das ganze nicht. Also kriege ich ein Integral über S und eines über den Deckel. Also doch über $\begin{eqnarray} S \cup D \end{eqnarray}$ . Ich habe benutzt: $\begin{eqnarray} S=S, S^{}=S\cup D \end{eqnarray}$ . Was ja nicht gleich dem ist was du geschrieben hast. Daher sehe ich deinen Einwand "Damit hast du aber das Integral über $\begin{eqnarray} S\cup D \end{eqnarray}$ berechnet und nicht wie gefordert über $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ " nicht. Du hast ja geschrieben: $\begin{eqnarray} \int_{S \cup D} \vec{V}\cdot d\vec{\sigma}=\int_{S^{}} div(\vec{V}) d\mu = \int_{S^{}} 0 d\mu = 0 \end{eqnarray}$ . Ich aber sage $\begin{eqnarray} \int_{S} \vec{V}\cdot d\vec{\sigma}=\int_{S^{}} div(\vec{V}) d\mu = \int_{S^{}} 0 d\mu = 0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} S^{}=S\cup D \end{eqnarray}$ . Was ist also an dem was ich sagte falsch?
07.12.2016, 13:52	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit der geschlossenen Fläche $\begin{eqnarray} S^ \end{eqnarray}$ dachte ich du bezeichnest $\begin{eqnarray} B^+= \{(x,y,z)\in\mathbb R^3 \| x^2+y^2+z^2 < 1, z > 0\} \end{eqnarray}$ als das innere der Halbkugel. Es gilt nämlich $\begin{eqnarray} \int_{S \cup D} \vec V \cdot d \vec \sigma = \int_{B^+} div (\vec V) d\mu \end{eqnarray}$ . Zugegeben wäre das Wort "füllen" passender gewesen als schließen, aber habe mich mehr an der Gleichheit als der Wortwahl orientiert. Das Randintegral wird also zum Volumenintegral. Sonst könntest du auch nicht das Lebesgue-Maß $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray*}$ nehmen.
07.12.2016, 14:34	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
gutgutgut - ich schliesse daraus, dass ich das alles nochmal genau anschauen sollte. :P Merci
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