Integrationsgrenzen bei einem offenen Intervall bestimmen

03.12.2016, 12:27	Heisenberg93	Auf diesen Beitrag antworten »
Integrationsgrenzen bei einem offenen Intervall bestimmen Hallo, ich soll zeigen, dass $\begin{eqnarray} f_n (x) = \frac{1}{x} \chi_{(1,n)} (x) \end{eqnarray}$ eine Cauchy Folge in $\begin{eqnarray} L^2 (\mathbb R) \end{eqnarray}$ (Lebesgueraum) ist. Ich habe auch schon eine Idee wie ich das ganze zeigen soll, aber habe Probleme die Integrationsgrenzen zu bestimmen $\begin{eqnarray} \|\| f_n - f_m \|\|_2 =( \int \| \frac{1}{x} \chi_{(1,n)} (x) - \frac{1}{x} \chi_{(1,m)} (x)\|^2)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ Bei einem geschlossen Intervall hätte das Intergral einmal von 1 bis n laufen lassen (n<m), damit wäre die Differenz null und anschließend von n bis m. Da die Charakteristische Funktion auf einem offenen Intervall definiert ist, weiß ich nicht wie ich die Integrationsgrenzen bestimmen . Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen.
03.12.2016, 16:06	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, wenn es dir leichter fällt, dann nimm einfach die abgeschlossenen Intervalle. Da der Unterschied eine Nullmenge ist, gibt es nach Herausfaktorisieren der Nullfunktionen in $\begin{eqnarray} L^2 \end{eqnarray}$ keinen Unterschied mehr.
03.12.2016, 17:21	Heisenberg93	Auf diesen Beitrag antworten »
Das der Unterschied eine Nullmenge ist verstehe ich, aber dein Argument danach kann ich nicht mehr nachvollziehen. Könntest du mir bitte erklären wie ich das ganze mit offenen Intervallen lösen kann, da ich noch drei weitere Aufgaben lösen muss die fast identisch sind (Charakteristische Funktion auf einem offenen Intervall) und sich nur im Vorfaktor (in diesem Bsp war es 1/x) unterscheiden
03.12.2016, 17:30	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Punkt ist, dass $\begin{eqnarray} f_n \end{eqnarray}$ und die Funktion $\begin{eqnarray} x\mapsto \frac{1}{x}\chi_{[1,n]}(x) \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} L^2 \end{eqnarray}$ betrachtet ein und dieselbe Funktion sind. Du kannst daher ohne Probleme mit der letzteren arbeiten, wenn dir das leichter fällt. Es gibt keinen Unterschied, es sind nur verschiedene Representanten des selben Elements in $\begin{eqnarray} L^2 \end{eqnarray}$ und wie wir wissen, können wir uns die Representanten, mit denen wir arbeiten wollen, selbst aussuchen. Noch was anderes: Man kann $\begin{eqnarray} \int_a^b \end{eqnarray}$ sowieso nur so schreiben, weil es irrelevant ist, ob man $\begin{eqnarray} \int_{[a,b]} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \int_{(a,b)} \end{eqnarray}$ damit meint. Diese Schreibweise kann man immer nur dann verwenden, wenn dabei das gleiche herauskommt und dies ist hier der Fall. Das Integral $\begin{eqnarray} \int_{(a,b)} \end{eqnarray}$ kannst du also genauso behandeln, als wenn dort $\begin{eqnarray} \int_a^b \end{eqnarray}$ stünde. Alternativ kannst du natürlich auch $\begin{eqnarray} \chi_{(1,m)}-\chi_{(1,n)} = \chi_{[n,m)} \end{eqnarray}$ verwenden, falls $\begin{eqnarray} m>n \end{eqnarray}$ .
03.12.2016, 23:20	Heisenberg93	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Hilfe

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