Kongruenzrechnung

03.12.2016, 12:41	DermitderFrage	Auf diesen Beitrag antworten »
Kongruenzrechnung Meine Frage: Hallo, folgende Aufgabe: Charakterisieren Sie alle natürlichen Zahlen m, m?0, für welche die Gleichung 57x-5 "kongruent" -3x+24 mod m eine Lösung x?Zm hat. Geben Sie für die Fälle m=23, m=31 und m=77 alle Lösungen dieser Gleichung an. Meine Ideen: Ich weiß nicht genau was mit charakterieren geeint ist. Aber ich denke ich muss wohl einen allgemeinen Weg gehen und nicht alle m ausprobieren. Für m=1 gäbe es ja schoneinmal unendlich viele x. Beim zweiten Teil der Aufgabe hätte ich eigentlich gedacht, dass ich nach x umstellen muss, aber das da kommt am ende eine gebrochene Zahl heraus, was für mich immer ein Zeichen ist das meine Lösung falsch ist ;D für m=23 wäre das: 11x+18 "kongruent" 20x+1 -> 18 "kongruent" 9x+1 -> 17 "kongruent" 9x -> x "kongruent" 1,88888888889
03.12.2016, 19:01	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst zunächst die Gleichung konventionell umformen, damit ist $\begin{eqnarray} 20x \equiv 3 \mod m \end{eqnarray}$ Klarerweise würde es nur bei der Division durch 20 zu einem Bruch kommen. Daher muss dafür gesorgt werden, dass der Wert des Bruches ganzzahlig wird. Ich führe dazu gerne neue ganzzahlige Variablen ein. Ob dieses Vorgehen der Vorlesung entspricht, weiss ich nicht, ich mache dies einfach intuitiv. So haben wir dann $\begin{eqnarray} 20x = 3 + k \cdot m \end{eqnarray}$ , wobei k bestimmte ganze Zahlen durchläuft, für die rechte Seite durch 20 teilbar ist. $\begin{eqnarray} k \cdot m = 20x - 3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} m = \frac {20x - 3} k \end{eqnarray}$ Dies ist nun das Modell für m in Abhängigkeit von x, mit passend gewählten k .. ------------------ Bei beispielsweise gegebenem m (= 23) verfahren wir analog, forme um zu $\begin{eqnarray} 20x = 3 + 23k \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x = \frac {3 + 23k}{20} \end{eqnarray}$ , für passende k gibt es ganzzahlige x ... ------------------ Das ist also eine Lösungsidee, diese muss Restklassentheoretikern nicht unbedingt gefallen, vielleicht können die ja noch etwas dazu sagen, wie gesagt, es ist nicht mein Fachgebiet. mY+

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