Banachscher Fixpunktsatz

03.12.2016, 13:20

loci

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Banachscher Fixpunktsatz

Hi,

ich habe folgende Gleichung gegeben:
2x-tan(x) = 0

Ich soll für 2 Funktionen überprüfen, ob diese die Vorraussetzungen für die Banachschen Fixpunktsatz erfüllen.
f1(x) = 1/2 tan (x)
f2(x) = arc tan (2x)

Ich scheitere leider bei der einfachen Aufgabe. Zwar konnte ich das schonmal in einer Analysis-Vorlesung, habe es jedoch vergessen und komme nicht mehr drauf. Mein Ansatz:

Ich habe bereits gesucht und folgendes gefunden hier im Forum:
http://www.matheboard.de/archive/486354/thread.html

Ähnliches habe ich jetzt auch gemacht. Ich habe mir zuerst meine Funktion f1(x) hergenommen und versucht, genauso vorzugehen wie dort im Link gezeigt.

Als Ableitung von 1/2 tan (x) habe ich
$\begin{eqnarray*} f1'(x)=\frac{1}{cos (2x)+1} \end{eqnarray*}$ heraus.

Wir haben ein Intervall von [1, 1.5] gegeben. Da ich kein Extremum laut Plot der Funktion im Bereich habe, muss das betragsmäßige Maximum also in den Randpunkten liegen wie im Link ebenso der Fall war.

Ich habe also f1'(1) und f1'(1.5) eingesetzt und bekomme bei beiden 0 raus.

Ich glaube eher dass ich etwas falsch gemacht habe (wenn ja, was). In einem Beispiel (vom Lehrstuhl) wurden 10 Werte der Funktion f1(x) = 1/2 tan (x) berechnet. Dort kam heraus, dass es für diese Funktion scheinbar tatsächlich keinen Fixpunkt gibt, aber für die zweite Funktion f2(x) = arc tan (2x). Natürlich kann ich nicht sagen "laut herausgegebener Tabelle sieht man..." sondern ich muss es ja berechnen und die Frage ist, ob obiger Ansatz der richtige war.

Auch im Link wo geschrieben wurde "ja, ist richtig was du gemacht hast" sehe ich allerdings nicht die Anwendung des Mittelwertsatzes. Das verwirrt mich ebenso.

03.12.2016, 13:37

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RE: Banachscher Fixpunktsatz
Wie kommst du auf f1'(1)=1?
Ist $\begin{eqnarray*} f_1(x)=\frac 1 2 \tan(x) \end{eqnarray*}$ ? Dann ist deine Ableitung falsch.

03.12.2016, 13:59

loci

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Danke für die Antwort. Hmmm in der Tat. Wie kam ich denn darauf???

Ich habe das nochmal nachgerechnet mit der Quotientenregel wegen Bruch und komme nun auf folgendes:
Ableitung
$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{2}{8*cos (x)} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe dass ist richtig, ich bin nämlich ein Meister im Verrechnen / was übersehen / vergessen.

Wennich dafür dann die Werte 1 und 1,5 einsetze bekomme ich
für 1: 0,250038082
für 1,5: 0,2500856981

Mein Maximum wäre also bei 0,2500856981, also dem Wert von 1,5.

Das müsste meine Lipschitz-Konstante sein, oder?

Nachtrag: Die Vorraussetzungen für den Banachschen Fixpunkt sind ja folgende, diese müsste man überprüfen:

1. Es handelt sich um einen vollständigen metrischen Raum
2. I muss zusammenhängend sein.
3. f muss Kontraktion sein.
4. f(D) muss Teilmenge von D sein.

D wird in verschiedenen Quellen mal als Defintionsbereich, mal als Intervall bezeichnet. Was ist hier das richtige? Denn in 2 ist ja von I, vermutlich dem Intervall die Rede. Also Definitionsbereich?
Die obigen Vorraussetzungen habe ich übrigens von hier:
Quelle

1 Ich gehe davon aus dass der Raum vollständig und metrisch ist. Leider wurde uns nicht angegeben, ob es der R ist, oder R²... das fehlt als Angabe irgendwie. Laut Grafik und Fkt. würde ich jetzt sagen dass es der R ist.
2 ist uns schon durch eine Grafik gegeben, dort sieht man dass die Fk zusammenhängend ist.
3 Kontrahierend ist es ja, wenn 0 < Lipschitz-Konstante < 1 ist. Meine Lösung oben passt da rein.

03.12.2016, 14:33

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Das ist nicht die Ableitung von $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ wie ich es angegeben habe.

Die von dir genannten Voraussetzungen sind mir so nicht geläufig. Hier wird "zusammenhängend" gefordert während "abgeschlossen" fehlt. Ich sehe gerade nicht, dass man das eine durch das andere ersetzen kann. Halte dich lieber an wikipedia.
D ist der Definitionsbereich deiner Funktion. Damit ist auch die Frage beantwortet, ob es "ob es der R ist, oder R²".

Was meinst du mit " dort sieht man dass die Fk zusammenhängend ist."? Und in welcher Beziehung soll das zu den Voraussetzungen stehen?

03.12.2016, 14:59

loci

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Dann weiß ich nicht, wie ich es sonst ableiten soll.
Mit der Quotionenregel komme ich auf das, was ich oben berechnet habe und nicht die Ableitung sein soll, die du geschrieben hast. Ich habe 1/2 tan (x) umgeschrieben als tan (x) / 2 . Das sollte doch nicht falsch sein?!

Um das zu überprüfen, habe ich es jetzt mal bei Wolfram Alpha und einem Ableitungsrechner eingeben. Dort kommt
sec²(x) / 2 heraus bei beiden.
sec kenne ich nicht, hatten wir bis jetzt in keiner Veranstaltung. Weiter unten bietet Wolfram aber eine alternative Schreibweise an, nämlich

1/(cos(2 x) + 1) wie oben geschrieben. Dies soll ja aber auch falsch sein.
Was ist denn dann die richtige Ableitung?

Zitat:

Halte dich lieber an wikipedia.

Ok, da sehe ich aber weder auf der deutschen noch auf der englischen Seite heraus, wie die Vorgehensweise ist. Ich versuche mir gerade eine Art Algorithmus zusammen zu stellen, wie ich exakt bei diesen Aufgaben vorgehen muss. Also: mit was fange ich an, was ist zu prüfen, etc. Das ist mir bei Wikipedia einfach nicht wirklich ersichtlich.
In unseren Skript wird gar nichs mit der Ableitung gemacht - allerdings steht das im Widerspruch zu allen anderen "Anleitungen" wie auch dem anderen Thread aus dem Forum. Der genaue Weg ist mir immer noch nicht klar.

Zitat:

D ist der Definitionsbereich deiner Funktion. Damit ist auch die Frage beantwortet, ob es "ob es der R ist, oder R²".

Das wäre dann R.

Zitat:

Was meinst du mit " dort sieht man dass die Fk zusammenhängend ist."?

In unserem Skript sind beide Funktionen von oben geplottet, die tan-Funktion und die arc tan-Funktion. Dort erkennt man, dass die Funktionen zusammenhängend sind, also keine Lücken sichtbar im Sinne von dass die Fkt'en "unterbrochen" sind. Mir fällt aber gerade auf, dass diese Begründung Banane ist. Wenn das Intervall zusammenhängend ist, heißt es doch eher dass es z.B. von x= 1 bis 2 geht, und nicht von x = 1 bis 2, dann nochmal von 4 bis 5 oder so. Oder?

Zitat:

Und in welcher Beziehung soll das zu den Voraussetzungen stehen?

Laut der Matroid-Quelle soll das "zusammenhängend" ja eine Vorraussetzung sein für einen Banachschen Fixpunkt. Wäre es nicht zusammen hängend, könnte es dann ja kein Fixpunkt sein, da bereits eine Vorraussetzung fehlt, oder? Wobei ich mich jetzt wie du schriebst, auf diese angegebenen Vorraussetzungen dort nicht mehr stützen werde. Bei Wikipedia lese ich so erstmal keine klaren Vorraussetzungen heraus, womit ich wieder bei 0 stehe jetzt.

03.12.2016, 15:15

loci

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Hab jetzt nochmal eine anderen Anleitung gefunden, dort werden folgende Vorraussetzungen genannt:

1 der Raum muss vollständig und metrisch sein
2. f muss Kontraktion sein, D muss zusammenhängend und konvex (??) sein
3. f muss wieder in den Definitionsbereich abbilden.
Quelle

Frage ist, ob das besser ist. Wir haben noch nie die Frage beantwortet, ob ein Raum vollständig ist. Im Beispiel wurde genannt, dass Cauchy-Folgen konvergieren. Tja, nur wie nachprüfen... Metrisch: ich gehe einfach mal davon aus dass unser Raum metrisch ist, da wir mit Beträgen rechnen...

Kontraktion habe ich oben versucht auszurechnen, was ja scheiterte, bereits an der Ableitung.
3: ebenfalls keine Ahnung wie das nachzuweisen ist. Ich würde sagen einfach schauen ob der Wert den ich einsetze, im Intervall liegt. Tun meine obigen Werte ja nicht, aber evtl eben auch weil die Ableitung schon Mist ist.

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03.12.2016, 15:34

loci

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Moment mal - kann es sein, dass bei meiner Ableitung oben nur das Quadrat fehlt? Im Nenner also 8*cos²(x) ?? Gerade durch Zufall gesehen dass ich es vergessen habe.

03.12.2016, 16:05

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Also für $\begin{eqnarray*} f_1(x)=\frac 1 2 \tan(x) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f_1'(x)=\frac 1 2 \frac{1}{\cos^2(x)}=\frac{1}{cos (2x)+1} \end{eqnarray*}$ .
Du hattest Recht und ich den Faktor 1/2 vergessen.

03.12.2016, 17:28

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Die zweite Quelle irrt. Beispiel: Wir nehmen für M die reellen Zahlen, für D das offene Intervall $\begin{eqnarray*} (0,\frac 1 2) \end{eqnarray*}$ und setzen $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac 1 2 x^2 \end{eqnarray*}$ .
1. Die reellen Zahlen sind ein vollständiger metrischer Raum, D ist zusammenhängend und konvex.
2. Zum Nachweis der Kontraktionseigenschaft benutzt man den Mittelwertsatz: $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)|=|f'(w)(x-y)| \end{eqnarray*}$ für ein geeignetes w.
Als nächstes schaut man sich an, wie groß der Faktor vor dem (x-y) werden kann - das wird dann das $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=x \end{eqnarray*}$ ist auf D natürlich betragsmäßig kleiner als 1/2. Also ist $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)|=|f'(w)(x-y)| \leq \frac 1 2 |x-y| \end{eqnarray*}$ und wir können $\begin{eqnarray*} \lambda=\frac 1 2 \end{eqnarray*}$ nehmen.
3. Schließlich wird D auf das offenen Intervall $\begin{eqnarray*} (0,\frac 1 4) \end{eqnarray*}$ abgebildet, das in D enthalten ist.

Damit sind alle dort genannten Voraussetzungen erfüllt. Aber f hat auf D keinen Fixpunkt.

04.12.2016, 12:48

loci

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Oh man, wie soll ich denn da als Laie beurteilen können ob eine Quelle gut ist oder nicht? Das kann ich ja nur, wenn ich den Stoff selbst kann. unglücklich

unglücklich

Ok, zusammenfassend: bei Wikipedia, an die ich mich halten soll, stehen keine direkten Vorraussetzungen drin. Das hilft mir schonmal nicht weiter. Quelle 1 und 2 sind Schwachsinn.

Und nun? Ich habe quasi jetzt nichts an der Hand, was mir helfen könnte und bin wieder bei null.

Was ist mit der Quelle aus dem Forum hier? Nur wird da soweit ich das sehen kann, kein Mittelwertsatz angewendet. Aber den braucht man doch?!

Laut unserer Tabelle die gegeben ist (Startwert plus 10 Iterationen die durchgeführt wurden von 0-9) hat f1 keinen Fixpunkt. Wenn ich mir aber die Aussage von Wikipedia anschaue, dass die Fkt eben eine Kontraktion ist etc., komme ich zum Schluss dass es einen Fixpunkt geben muss. Das steht aber im Widerspruch zu unserer gegebenen Tabelle.

In unserem Skript steht als Vorraussetzung folgendes.
Sei I ein Intervall mit [a,b] aus R. Sei phi: I -> I eine kontrahierende Abbildung mit einer Lipschitz-Konstante Lambda < 1. Dann folgt, dass es einen Fixpunkt gibt.

Aber: da fehlt doch jetzt die Hälfte von wegen "konvex, Abgeschlossenheit, metrischer Raum" etc. ?! Aus dem obigen Satz von unserem Skript lese ich raus, das ich nur eine Lipschitz-Konstante brauche und ein Intervall, und das funktioniert. Warum steht dann in anderen Quellen dass mehr Bedingungen gegeben sein müssen??

04.12.2016, 13:08

loci

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15 Minuten zum Editieren leider um, daher neue Antwort:

Ich habe jetzt das Buch Formeln und Hilfen zur höheren Mathematik, Binomi Verlag ausgeliehen. Das soll wohl so eine Mathebibel sein. Dort steht geschrieben:

B sei Teilmenge aus R, g: B -> B ist eine Kontraktion, d.h. g genügt auf B einer Lipschitzbedingung mit der Konstanten alpha, welche kleiner als 1 sein soll. Dann gäbe es genau einen Fixpunkt.

D.h. ich muss doch nur wie auch in der Aufgabe siehe der Quelle aus dem Forum hier, die Lipschitz-Konstante berechnen und bin fertig? Nur halt mit meiner korrekten Ableitung dann, nicht mit der falschen von oben.

04.12.2016, 13:30

loci

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Letzter Versuch, sonst muss ich abbrechen und die Zeit für die anderen Aufgaben aufwenden, die noch zu machen sind:

x1, x2 sind Element aus I.

Nach Mittelwertsatz existiert ein Epsilon aus (x1, x2), sodass
$\begin{eqnarray*} f'(\xi)| (x2-x1) | = | f(x2)-f(x1) | \end{eqnarray*}$
(halt wie in erster Quelle aus dem Forum hier)

Ziel: f'x betragsmäßig maximieren.
Ableitung siehe oben (diesmal auch die korrekte Version genommen, siehe Kommentar von dir).

f' hat kein Extremum, also muss das betragsmäßige Maximum in den Randpunkten liegen.

f'(1)= 0,5001523396
f'(1.5)= 0,5003428512

D.h. es gäbe einen, da dies oben meiner Lipschitz-Konstante entspricht (kleiner als 1)? Das wäre dann ja der Wert von f'(1.5)

Für f2 dann äquivalent.
Ist das richtig?

04.12.2016, 13:54

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Zitat:

Sei I ein Intervall mit [a,b] aus R. Sei phi: I -> I eine kontrahierende Abbildung mit einer Lipschitz-Konstante Lambda < 1. Dann folgt, dass es einen Fixpunkt gibt.

Das ist ein Spezialfall, in dem einige Voraussetzungen des BF schon verarbeitet sind. Du betrachtest I=[a,b] und das ist eine abgeschlossenene Teilmenge von R. R selbst ist ein vollständiger metrischer Raum. Zudem soll phi:I -> I sein, also automatisch eine Selbstabbildung
Deswegen reicht es, sich in diesem Fall darauf zu beschränken, dass phi eine Kontraktion ist.

Im wikiartikel stehen genau diese Vorausseztungen explizit drin
"Gegeben sei ein vollständiger metrischer Raum $\begin{eqnarray*} ( X , d ) \end{eqnarray*}$ und eine nichtleere, abgeschlossene Menge $\begin{eqnarray*} M\subset X \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} \varphi \colon M\to M \end{eqnarray*}$ eine Kontraktion mit Kontraktionszahl $\begin{eqnarray*} k<1 \end{eqnarray*}$ "

04.12.2016, 14:11

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Du bist da auf dem richtigen Weg, ich korrigiere ein paar Kleinigkeiten.

Zitat:

Nach Mittelwertsatz existiert ein Epsilon aus (x1, x2), sodass $\begin{eqnarray*} \textcolor{red}{|}f'(\textcolor{red}\epsilon)\textcolor{red}{|}| (x2-x1) | = | f(x2)-f(x1) | \end{eqnarray*}$ (halt wie in erster Quelle aus dem Forum hier) Ziel: f'x betragsmäßig maximieren. Ableitung siehe oben (diesmal auch die korrekte Version genommen, siehe Kommentar von dir). f' hat kein Extremum, also muss das betragsmäßige Maximum in den Randpunkten liegen.

So weit, so gut. Allerdings kann ich deine Werte $\begin{eqnarray*} \color{red} f'(1)= 0,5001523396 f'(1.5)= 0,5003428512 \end{eqnarray*}$ nicht nachvollziehen.
Für $\begin{eqnarray*} f_1'(x)=\frac 1 2 \frac{1}{\cos^2(x)} \end{eqnarray*}$ bekomme ich $\begin{eqnarray*} f_1'(1)=1.7128, f_1'(1.5)=99.925 \end{eqnarray*}$ .
Hast du vielleicht nicht im Bogenmaß gerechnet?

Bei diesem Beispiel hätte man übrigens auch anders vorgehen können: Wegen $\begin{eqnarray*} f_1(1.5)=7.0507 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ keine Selbstabbildung von $\begin{eqnarray*} [1,1.5] \end{eqnarray*}$

04.12.2016, 15:18

loci

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Oh danke! Das bringt mich ein Stück weiter und motiviert mich.
Ich habe nicht im Bogenmaß gerechnet... Daher kommt mein Fehler!

Ah, und das mit der Selbstabbildung meinst du so (habe ich es richtig verstanden)?

Man muss ja mit f1(1.5) wieder irgendwo im Intervall von [1, 1.5] landen. Das tun wir aber aufgrund f(1.5) = 7.xxx schon nicht. Könnte man dann also einfach noch den Wert f(1) ausrechnen und schauen, ob man dort im Intervall landet und wenn auch dann nicht -> ist dort schon die Argumentation beendet?

0,5*tan(1) ist bei mir nämlich (jetzt auch rad eingestellt): 0,7787 (gerundet).
Das liegt ja aber wiederrum zwischen 0 und 1 und auch im Intervall. Müsste jetzt mit diesem Wert weitergerechnet werden?

(Gucke ich mir allerdings den Plot / Grafik der Ableitung an, sehe ich dass bei der Intervallgrenze von 1 ja kein betragsmäßig maximaler Wert erreicht wird, sondern bei 1.5 - ich kann ja nicht argumentieren "weil man im Graphen sieht, ...." In der Klausur haben wir ja auch keinen Taschenrechner parat - den habe ich jetzt rausgekramt da ich irgendeinen weiteren Ansatzpunkt brauchte)

04.12.2016, 15:38

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Es ist egal, ob $\begin{eqnarray*} f_1(1) \end{eqnarray*}$ - deinen Wert kann ich bestätigen - im Intevall liegt. Selbstabbildung bedeutet, dass für jedes $\begin{eqnarray*} x\in D \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} f_1(x)\in D \end{eqnarray*}$ sein muss.

04.12.2016, 16:56

loci

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Hm, aber es geht ja um Werte in R. D.h. das wird in meinem Fall ja immer korrekt abgebildet, oder nicht? D.h. von R -> R

04.12.2016, 17:02

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Du schriebst

Zitat:

Wir haben ein Intervall von [1, 1.5] gegeben.

Also ging ich davon aus, dass es um dieses Intervall geht
Außerdem kann R -> R überhaupt nicht sein, weil der Tangens nicht auf R definiert ist.

04.12.2016, 17:21

loci

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Ja, das ist das korrekte Intervall. Dann weiß ich allerdings nicht, was das mit der Selbstabbildung auf sich hat.
Was heißt das denn praktisch oder anschaulich? Ich habe es so verstanden, dass eben mein y-Wert, wenn ich ein x einsetze, ebenfalls wieder in der Menge sein muss, die aus der ich mein x hernehme.

Was wäre das für den Tangens?

04.12.2016, 17:37

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Zitat:

Ich habe es so verstanden, dass eben mein y-Wert, wenn ich ein x einsetze, ebenfalls wieder in der Menge sein muss, die aus der ich mein x hernehme.

Und genau das ist für x=1.5 nicht der Fall.
Anschaulich müsste der Graph von f_1 ganz im Rechteck $\begin{eqnarray*} [1,1.5]\times [1,1.5] \end{eqnarray*}$ verlaufen.

Zitat:

Was wäre das für den Tangens?

Ich verstehe die Frage nicht. Wir reden doch die ganze Zeit über das Intervall [1,1.5] oder nicht?

04.12.2016, 18:17

loci

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Achso, das heißt es reicht zu zeigen dass bei einem Wert, nämlich f1 (1.5) schon ein Wert von über 7 rauskommt was nicht mehr in meinem Rechteck liegt. Wobei der Satz als Lösung wahrscheinlich schon zu wenig ist, oder? Big Laugh

Big Laugh

Ich habe das jetzt so verstanden dass man es für f1(1) schon gar nicht mehr zeigen muss, da ja schon f1(1.5) nicht hinhaut und uns "aus dem Rahmen läuft".

Wegen Tangens:
Du meintest, da wir den Tangens haben, könne schonmal nicht von R (die Menge der reellen Zahlen) die Rede sein. Um welche Menge handelt es sich denn dann, wenn wir einen Tangens haben? Ich dachte das sei unabhängig vom Intervall (ja, über das von 1 bis 1.5 reden wir die ganze Zeit)

04.12.2016, 18:29

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Ob der Satz als Lösung reicht, hängt vom Korrektor der Aufgabe ab Big Laugh

Big Laugh

Grundsätzlich ist es eine richtige Begründung. Und ja, f_1(1) braucht man gar nicht mehr zu prüfen.

Es handelt sich um die Menge, die man vorgegeben hat und untersuchen soll (hier das Intervall [1,1.5]) oder eine Menge, die man sich selbst aussucht. Die Aufgabe ist in jedem Fall zu zeigen, dass man es mit einer Selbstabbildung dieser Menge zu tun hat (auf der die Abbildung dann auch noch eine Kontraktion sein muss, aber das ist eine andere Geschichte).

Warum muss es eine Selbstabbildung sein? Sonst könnte man nicht sicher sein, dass die Rekursion $\begin{eqnarray*} x_{n+1}=f(x_n) \end{eqnarray*}$ , mit der man sich dem Fixpunkt annähern kann, überhaupt definiert ist.

09.12.2016, 20:37

loci

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Hallo URL,

das hat mir wahnsinnig geholfen - jetzt habe ich das verstanden! Und: ja, wir müssen die Selbstabbildung immer prüfen, und genau das war auch der Punkt, der wichtig war (und richtig) smile

smile

Ich werde mir dazu noch ein paar Aufgaben hernehmen um sicherer damit zu werden, aber das ist ja nur noch Übungssache.

Danke!

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