Determinante von 5x5-Matrix

03.12.2016, 18:51

Ersti2016

Determinante von 5x5-Matrix

Hallo ich muss die Determinante von folgender Matrix bestimmen
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 & 1 & 1\\ 3 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0& 4& -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5\\\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Die Determinate muss wohl -30 sein.

Mein Rechnungsweg
Verkleinerung der Matrix durch Laplacen Entwicklungssatz

$\begin{eqnarray*} 5*\begin{vmatrix} 0 & 2 & 1 & 1\\ 3& 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1& 1 \\ 0 & 4 & -1 & 1 \ \end {vmatrix} =\begin{vmatrix} 0 & 10 & 5 & 5\\ 15& 0 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 5& 5 \\ 0 & 20 & -5 & 5 \ \end {vmatrix} =-15*\begin{pmatrix} 10& 5& 5 \\ 5& 5& 5 \\ 20 & -5 & 5 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -150& -75& -75 \\ -75& -75& -75 \\ -300 &75 & -75 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun kann man den Satz von Saurus anwenden. Doch ich habe die Determinante mit dem TR bereits berechnet und bekomme als Determinate -843750 raus. Was mache ich falsch? Wo liegt der Fehler?

03.12.2016, 18:54

Ersti2016

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Kurze Verbesserung der Ausgangsmatrix:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 & 1 & 0\\ 3 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0& 4& -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5\\\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

03.12.2016, 22:08

mYthos

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Der Satz ist nicht von "Saurus", sondern von Sarrus.
Dein Fehler ist bei der 2. Entwicklung mit dem Element(2;1) = 3, da hast du den Faktor 5 drei Male zuviel darin.

Bei richtiger Rechnung wird's einfach, der Wert der Determinante ist tatsächlich -30.

$\begin{eqnarray*} .. =-15*\begin{vmatrix} 2& 1& 1 \\ 1& 1& 1 \\ 4 & -1 & 1 \end{vmatrix} = .... \end{eqnarray*}$

Anstatt Sarrus entwickle die 3-reihige Determinante ebenfalls nach den Elementen einer Zeile oder Spalte.

mY+

04.12.2016, 10:00

Ersti2016

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Kannst du deine Antwort bitte genauer erläutern? Wo sollen bei Entwicklung 2 drei Fünfen zu viel sein? Bei dem von dir genannten Entwicklungsschritt bekomme ich 6750 anstelle von -30 raus. Außerdem bekommt man doch schon bei der ersten Entwicklung -3750 anstelle von -30 heraus?! Der Fehler muss doch viel früher geschehen sein. verwirrt

04.12.2016, 10:14

mYthos

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Zitat:

Original von Ersti2016
...
Bei dem von dir genannten Entwicklungsschritt bekomme ich 6750 anstelle von -30 raus. Außerdem bekommt man doch schon bei der ersten Entwicklung -3750 anstelle von -30 heraus?!
...

Nein, das ist bereits falsch.
Dein Fehler ist genau dort, wo das Zitat im vorigen Beitrag steht.
Die Determinante, die nach (-15) steht, hat bei dir 5*5*5, also 3 Faktoren zuviel.
---------------
Du solltest dir die Determinantenregeln ansehen.
Man multipliziert eine Determinante (Matrix) mit einer Zahl, indem man die Elemente EINER Zeile oder Spalte mit dieser Zahl multipliziert, NICHT alle.

mY+

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