Arctan erhält L^1-Konvergenz |
03.12.2016, 19:32 | Pekki | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Arctan erhält L^1-Konvergenz Ich sitze grad an folgender Frage, gegeben sei eine Funktionenfolge die für in gegen f konvergiert, ob dann für auch in konvergiert. Meine Ideen: Da ich in so allgemeinen Formulierungen immer recht schlecht bin, versuche ich mir dies erstmal anhand eines Beispiels zu erklären. Ich habe mir jetzt einfach eine Funktionenfolge genommen, welche ja in gegen 0 konvergiert. Nun setze ich , dazu habe ich mir dann die Graphen der ersten ´s angeschaut und gesehen das auch wieder gegen 0 konvergiert bei . Mein Problem liegt jetzt aber im allgemeinen Beweis, leider habe ich keinen passenden Satz im Skript gefunden, welcher mir vllt eine Aussage darüber liefert. Da der Arctan ja strikt monoton steigend ist über (0,1) dachte ich vllt damit irgendwie zu argumentieren, doch mir fehlt dort irgendwie der Ansatz. Würde mich sehr über jegliche Denkanstöße freuen. Gruß Pekki |
||||
03.12.2016, 20:14 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo Pekki, ein Tipp: Zeige für alle . |
||||
04.12.2016, 14:08 | Pekki | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo Gruppi12, danke erstmal für deine Antwort. Habe das ganze mal versucht durch zu führen, kam mir bekannt vor aus Ana 1/2 und habe es deswegen mit dem Mittelwertsatz gemacht. Da arctan ja stetig und differenzierber in x,y für alle x,y element R, kann der MWS ja angewendet werden. Dann ex. halt ein für das gilt und somit da nun zusätzlich 0< <1 gilt fertig. Dies sieht mir jetzt schon irgendwie nach Konvergenzsatz von Lebesque aus, mir ist aber noch nich wirklich klar wie mir dies die konvergenz von arctan(fn) zeigen soll. Könntest mir dazu vllt nochmal was sagen. |
||||
04.12.2016, 14:55 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was ist jetzt mit punktweise? |
||||
04.12.2016, 15:13 | Pekki | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Könnt ich dann jetzt nich einfach sagen das ich eine Majorante gefunden hab, also und da fn punktweise gegen f geht, nach Satz von Lebesque also auch gn punktweise gegen g bzw. bei n gegen unendlich? |
||||
04.12.2016, 15:22 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Warum sollte das eine Majorante sein? Außerdem muss keine punktweise Konvergenz vorliegen. |
||||
Anzeige | ||||
|
||||
04.12.2016, 16:00 | Pekki | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich dachte da ich schon weiß das und für fn gegen f bei n gegen unendlich, geht doch die rechte Seite gegen 0 und dann kann ich arctan(f) rüber ziehen und hätte oder was mache ich falsch? Und sorry gegeben ist ja nur Maßkonvergenz, aber was meinst du dann genau mit Zitat: "Was ist jetzt mit punktweise?" |
||||
04.12.2016, 18:15 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Deine Begründung für die Abschätzung ist falsch. Du kannst ja nicht einfach rechts den Grenzwert betrachten und links so tun, als würde das dann das, was man im Grenzfall erhält, auch für alle n gelten. Um die Konvergenz zu zeigen, musst du doch nachweisen, dass gegen Null konvergiert. Schreib das doch mal als Integral aus und schau, ob du den Integrand punktweise abschätzen kannst. |
||||
04.12.2016, 20:09 | Pekki | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also um ->0 bei n -> unendlich zu zeigen , kann ich ja auch zeigen, dass gilt, oder? Mein Versuch: wegen vorher gezeigter Ungleichung , aber warum ich jetzt den Limes reinziehen darf is mir noch unklar, aber es müsste ja theoretisch gehen damit auch folgt das: ich habe ja leider nicht gegeben das f_n monoton steigend ist, sonst könnte ich ja f als Majorante benutzen und Lebesque wäre erfüllt, aber was übersehe ich hier? |
||||
04.12.2016, 20:13 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das kannst du nicht "auch" zeigen, das ist die Definition des zu zeigenden. Du musst und solltest den Limes danach überhaupt nicht hereinziehen. Du weißt nicht, dass punktweise gegen konvergiert, das hatten wir doch schon mehrfach Was bedeutet denn definitionsgemäß, dass in ? Du versuchst die ganze Zeit, das auf punktweise Konvergenz zurückzuführen, dabei ist das vollkommen sinnlos. Sowohl das zu zeigende, als auch die Voraussetzung sind Aussagen über die Integralnormen, also bleibt man auch bei diesen Normen. |
||||
04.12.2016, 20:47 | Pekki | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sorry werfe heut echt alles durcheinander aber klar die funktionenfolge konvergiert in ist ja grad so definiert , dass und somit bin ich ja schon fertig mit Wollte irgendwie umbedingt den Lebesque ins Spiel bringen sorry Danke dir für die Geduld ! |
||||
04.12.2016, 21:20 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gern geschehen |
|
Verwandte Themen
Die Beliebtesten » |
|
Die Größten » |
|
Die Neuesten » |
|