Arctan erhält L^1-Konvergenz

03.12.2016, 19:32

Pekki

Arctan erhält L^1-Konvergenz

Meine Frage:
Ich sitze grad an folgender Frage, gegeben sei eine Funktionenfolge $\begin{eqnarray*} f_{n} \end{eqnarray*}$ die für $\begin{eqnarray*} n->\infty \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} L^{1} (0,1) \end{eqnarray*}$ gegen f konvergiert, ob dann $\begin{eqnarray*} arctan(f_{n} ) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n->\infty \end{eqnarray*}$ auch in $\begin{eqnarray*} L^{1} (0,1) \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Meine Ideen:
Da ich in so allgemeinen Formulierungen immer recht schlecht bin, versuche ich mir dies erstmal anhand eines Beispiels zu erklären. Ich habe mir jetzt einfach eine Funktionenfolge $\begin{eqnarray*} f_{n} = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \lambda_{[0,\frac{1}{n})} \end{eqnarray*}$ genommen, welche ja in $\begin{eqnarray*} L^{1} (0,1) \end{eqnarray*}$ gegen 0 konvergiert.

Nun setze ich $\begin{eqnarray*} g_{n} = arctan(f_{n}) \end{eqnarray*}$ , dazu habe ich mir dann die Graphen der ersten $\begin{eqnarray*} g_{n} \end{eqnarray*}$ ´s angeschaut und gesehen das $\begin{eqnarray*} g_{n} \end{eqnarray*}$ auch wieder gegen 0 konvergiert bei $\begin{eqnarray*} n->\infty \end{eqnarray*}$ .

Mein Problem liegt jetzt aber im allgemeinen Beweis, leider habe ich keinen passenden Satz im Skript gefunden, welcher mir vllt eine Aussage darüber liefert. Da der Arctan ja strikt monoton steigend ist über (0,1) dachte ich vllt damit irgendwie zu argumentieren, doch mir fehlt dort irgendwie der Ansatz.
Würde mich sehr über jegliche Denkanstöße freuen. smile

Gruß
Pekki

03.12.2016, 20:14

Guppi12

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Hallo Pekki,

ein Tipp: Zeige $\begin{eqnarray*} |\arctan(x)-\arctan(y)|\leq |x-y| \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x,y\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ .

04.12.2016, 14:08

Pekki

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Hallo Gruppi12,

danke erstmal für deine Antwort. Habe das ganze mal versucht durch zu führen, kam mir bekannt vor aus Ana 1/2 und habe es deswegen mit dem Mittelwertsatz gemacht.

Da arctan ja stetig und differenzierber in x,y für alle x,y element R, kann der MWS ja angewendet werden. Dann ex. halt ein $\begin{eqnarray*} c\in \left(x,y\right) \end{eqnarray*}$ für das gilt $\begin{eqnarray*} \frac{arctan(x)-arctan(y)}{x-y} = arctan'(c) \end{eqnarray*}$
und somit $\begin{eqnarray*} \frac{|arctan(x)-arctan(y)|}{|x-y|} = | \frac{1}{1+c^{2} } | \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow |arctan(x)-arctan(y)| = |x-y| | \frac{1}{1+c^{2} } | \end{eqnarray*}$
da nun zusätzlich 0< $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+c^{2} } \end{eqnarray*}$ <1 gilt

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow |arctan(x)-arctan(y)| = |x-y| | \frac{1}{1+c^{2} } | \leq |x-y|*1 = |x-y| \end{eqnarray*}$
fertig.

Dies sieht mir jetzt schon irgendwie nach Konvergenzsatz von Lebesque aus, mir ist aber noch nich wirklich klar wie mir dies die konvergenz von arctan(fn) zeigen soll.
Könntest mir dazu vllt nochmal was sagen. smile

04.12.2016, 14:55

Guppi12

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Was ist jetzt mit $\begin{eqnarray*} |\arctan(f_n)-\arctan(f)| \end{eqnarray*}$ punktweise?

04.12.2016, 15:13

Pekki

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Könnt ich dann jetzt nich einfach sagen das ich eine Majorante gefunden hab, also

$\begin{eqnarray*} |gn(x)|=|arctan(fn)| \leq |arctan(f)|=|g(x)| \end{eqnarray*}$

und da fn punktweise gegen f geht, nach Satz von Lebesque also auch gn punktweise gegen g bzw. $\begin{eqnarray*} arctan(fn) -> arctan(f) \end{eqnarray*}$ bei n gegen unendlich?

04.12.2016, 15:22

Guppi12

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Warum sollte das eine Majorante sein? Außerdem muss keine punktweise Konvergenz vorliegen.

04.12.2016, 16:00

Pekki

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Ich dachte da ich schon weiß das
$\begin{eqnarray*} |arctan(fn)-arctan(f)| \leq |fn-f| \end{eqnarray*}$
und für fn gegen f bei n gegen unendlich, geht doch die rechte Seite gegen 0 und dann kann ich arctan(f) rüber ziehen und hätte
$\begin{eqnarray*} |arctan(fn)| \leq |arctan(f)| \end{eqnarray*}$
oder was mache ich falsch?

Und sorry gegeben ist ja nur Maßkonvergenz, aber was meinst du dann genau mit
Zitat:
"Was ist jetzt mit $\begin{eqnarray*} |\arctan(f_n)-\arctan(f)| \end{eqnarray*}$ punktweise?"

04.12.2016, 18:15

Guppi12

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Deine Begründung für die Abschätzung ist falsch. Du kannst ja nicht einfach rechts den Grenzwert betrachten und links so tun, als würde das dann das, was man im Grenzfall erhält, auch für alle n gelten.

Um die Konvergenz zu zeigen, musst du doch nachweisen, dass $\begin{eqnarray*} \|\arctan(f_n)-\arctan(f)\|_1 \end{eqnarray*}$ gegen Null konvergiert. Schreib das doch mal als Integral aus und schau, ob du den Integrand punktweise abschätzen kannst.

04.12.2016, 20:09

Pekki

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Also um $\begin{eqnarray*} \|\arctan(f_n)-\arctan(f)\|_1 \end{eqnarray*}$ ->0 bei n -> unendlich zu zeigen , kann ich ja auch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \int_{0}^{1} \! | arctan(f_n)-arctan(f)| \, d\lambda =0 \end{eqnarray*}$ gilt, oder?

Mein Versuch:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \int_{0}^{1} \! | arctan(f_n)-arctan(f)| \, d\lambda \leq \lim_{n \to \infty } \int_{0}^{1} \! | (f_n)-(f)| \, d\lambda \end{eqnarray*}$
wegen vorher gezeigter Ungleichung , aber warum ich jetzt den Limes reinziehen darf is mir noch unklar, aber es müsste ja theoretisch gehen damit auch folgt das:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \int_{0}^{1} \! | (f_n)-(f)| \, d\lambda = \int_{0}^{1} \! \lim_{n \to \infty }| (f_n)-(f)| \, d\lambda = \int_{0}^{1} \! |0| \, d\lambda = 0 \end{eqnarray*}$
ich habe ja leider nicht gegeben das f_n monoton steigend ist, sonst könnte ich ja f als Majorante benutzen und Lebesque wäre erfüllt, aber was übersehe ich hier?

04.12.2016, 20:13

Guppi12

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Zitat:

Original von Pekki
Also um $\begin{eqnarray*} \|\arctan(f_n)-\arctan(f)\|_1 \end{eqnarray*}$ ->0 bei n -> unendlich zu zeigen , kann ich ja auch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \int_{0}^{1} \! | arctan(f_n)-arctan(f)| \, d\lambda =0 \end{eqnarray*}$ gilt, oder?

Das kannst du nicht "auch" zeigen, das ist die Definition des zu zeigenden.

Du musst und solltest den Limes danach überhaupt nicht hereinziehen. Du weißt nicht, dass $\begin{eqnarray*} |f_n-f| \end{eqnarray*}$ punktweise gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ konvergiert, das hatten wir doch schon mehrfach verwirrt

Was bedeutet denn definitionsgemäß, dass $\begin{eqnarray*} f_n\to f \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} L^1 \end{eqnarray*}$ ?

Du versuchst die ganze Zeit, das auf punktweise Konvergenz zurückzuführen, dabei ist das vollkommen sinnlos. Sowohl das zu zeigende, als auch die Voraussetzung sind Aussagen über die Integralnormen, also bleibt man auch bei diesen Normen.

04.12.2016, 20:47

Pekki

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Sorry werfe heut echt alles durcheinander unglücklich

aber klar die funktionenfolge konvergiert in $\begin{eqnarray*} L^1 \end{eqnarray*}$ ist ja grad so definiert , dass
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \int_{0}^{1} \! | f_n-f| \, d\lambda = 0 \end{eqnarray*}$

und somit bin ich ja schon fertig mit
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \int_{0}^{1} \! | arctan(f_n)-arctan(f)| \, d\lambda \leq \lim_{n \to \infty } \int_{0}^{1} \! | f_n-f| \, d\lambda =0 \end{eqnarray*}$

Wollte irgendwie umbedingt den Lebesque ins Spiel bringen sorry LOL Hammer

Danke dir für die Geduld ! smile

04.12.2016, 21:20

Guppi12

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Gern geschehen smile

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