Maß einer Menge (abzählbar)

Neue Frage »

03.12.2016, 19:56	Zandra	Auf diesen Beitrag antworten »
Maß einer Menge (abzählbar) Meine Frage: Nabend zusammen, ich wiederhole gerade einige Sachen zur Maßtheorie/Analysis 3 und versuche zu verstehen warum folgende Menge abzählbar sein soll: $\begin{eqnarray} \left\{ \alpha \in \left[- \infty ,\infty \right]:\lambda (\left\{ f=\alpha \right\} )>0 \right\} \end{eqnarray}$ (wobei $\begin{eqnarray} \left(S,F,\lambda \right) \end{eqnarray}$ mein gegebener Maßraum ist und $\begin{eqnarray} f\in L^{p} \left(\lambda \right) \end{eqnarray}$ ) Meine Ideen: Erstmal zur Menge $\begin{eqnarray} \left\{ f=\alpha \right\} \end{eqnarray}$ , die enthält doch quasi alle konstanten Funktionen, also da das alpha ja von minus unendlich bis plus unendlich gewählt werden kann. Und danach schaue ich mir das Maß über diese Funktionen an, wobei in meiner gegebenen Menge jetzt nur die Funktionen sind mit Maß größer 0. Heißt dies jetzt das in meiner Menge nur alle positiven Konstanten Funktionen enthalten sind? Dann könnte die Menge aber doch nicht abzählbar sein ?! :/ (kommt mir zwar schon selbst falsch vor, weiß aber auch nicht wie ich es sonst interpretieren soll) Freue mich über jeden Hinweis!
03.12.2016, 20:05	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, du hast die Notation $\begin{eqnarray} \{f=\alpha\} \end{eqnarray}$ vollkommen missverstanden. $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist hier eine feste Funktion und $\begin{eqnarray} \{f=\alpha\} := \{s\in S~\vert~f(s) = \alpha\} = f^{-1}(\{\alpha\}) \end{eqnarray}$ . Mit diesem Wissen solltest du die Frage nochmal überdenken, da es ja die komplette Perspektive verändert. Du kannst gerne nachfragen, wenn dann immernoch Sachen unklar sind.
04.12.2016, 13:00	Zandra	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank erstmal für den Hinweis, da ging bei mir wohl einiges durcheinander Habe mir das ganze jetzt mal Beispielhaft versucht anhand der Dirichletfunktion zu verdeutlichen: da $\begin{eqnarray} f(x):= 1, fuer x \in Q , 0, fuer x \in \mathbb (R -Q) \end{eqnarray}$ somit müsste $\begin{eqnarray} \left\{ f=1 \right\} = Q \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \left\{ f=0 \right\} = \mathbb R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \forall \alpha \neq 0,1, ist \left\{ f=\alpha \right\} = leere Menge \end{eqnarray}$ nun zum Maß dieser Menge, ok Maß der leeren Menge ist 0. Aber das Maß von R , wenn ich mir R in der Darstellung als disjunkte Vereinigung von Intervallen der Länge 1 vorstelle, wäre ja somit unendlich und damit auch nich abzählbar. Könntest du mir hier nochmal sagen wo man Denkfehler ist?
04.12.2016, 13:14	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Also erstmal ist $\begin{eqnarray} \{f=0\} = \mathbb R\setminus\mathbb Q \end{eqnarray}$ , nicht $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ . Wo soll jetzt der Denkfehler sein? Die Menge $\begin{eqnarray} \left\{ \alpha \in \left[- \infty ,\infty \right]:\lambda (\left\{ f=\alpha \right\} )>0 \right\} \end{eqnarray}$ enthält nur das Element $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ , denn für alle anderen $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ ist ja, wie du richtig festgestellt hast $\begin{eqnarray} \lambda(\{f=\alpha\}) = 0 \end{eqnarray}$ . Da in der Menge nur eine einzige Zahl liegt ist sie doch also insbesondere höchstens abzählbar.
04.12.2016, 14:57	Zandra	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Denkfehler war wieder nur in meinem Kopf, aber danke, jetzt ist mir die Bedeutung dieser Menge erst richtig klar geworden. Nochmal zum Anmerken, da Q eine Lebesque Nullmenge in R ist, ist das Maß somit 0 und deshalb alpha = 1 nicht in der zu betrachteten Menge enthalten oder? Gut dieses Beispiel war dann wohl doch schon fast trivial, aber wenn ich mir nun die zu betrachtene Menge anschaue und allgemein betrachten will, das diese also immer abzählbar ist für $\begin{eqnarray} f\in L^{p} \left(\lambda \right) \end{eqnarray}$ . Heißt dies also das es immer nur abzählbar viele Elemente (alpha´s) gibt für die das Maß dieser Niveaumenge $\begin{eqnarray} \{f=\alpha\} \end{eqnarray}$ größer 0 ist? Wie kann ich aber denn sowas allgemein zeigen/sagen ? Dazu benötige ich doch bestimmt irgendwelche Sätze oder Lemmas, finde aber nichts passendes im Skript dazu
04.12.2016, 15:04	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles richtig. Ich kann aber gerade nicht so viel schreiben, weil ich unterwegs bin und nur mit dem Handy schreibe. Tipp: Sei $\begin{eqnarray} A_n := \left\{ \alpha \in \left[- \infty ,\infty \right]:\lambda (\left\{ f=\alpha \right\} )>\frac 1n \right\} \end{eqnarray}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray} \left\{ \alpha \in \left[- \infty ,\infty \right]:\lambda (\left\{ f=\alpha \right\} )>0 \right\} =\bigcup A_n \end{eqnarray}$ . Wieviele Elemente kann $\begin{eqnarray} A_n \end{eqnarray}$ haben?
Anzeige

04.12.2016, 16:37	Zandra	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich deinen Tipp richtig verstehe muss jetzt $\begin{eqnarray} A_n := \left\{ \alpha \in \left[- \infty ,\infty \right]:\lambda (\left\{ f=\alpha \right\} )>\frac 1n \right\} \end{eqnarray}$ abzählbar sein damit danach die abzählbare Vereinigung der A_n´s wieder abzählbar ist. Sorry aber ich muss mir dies wieder irgendwie anhand einer Funktion verdeutlichen was da passiert , nehme ich z.B. eine Treppenfunktion die einfach auf dem Intervall [0,1) konstant 1 ist und dann auf [1,2) konstant 2 usw. hätte ich doch $\begin{eqnarray} \lambda\left\{ f=1 \right\} = \lambda([0,1))=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda\left\{ f=2 \right\} = \lambda([1,2))=1 \end{eqnarray}$ usw. da diese alle größer 0 sind hätte ich in meiner betrachteten Menge doch ganz R, was wiederrum nicht abzählbar ist. Wenn ich mir die Treppenfunktion dann auch für alle A_n´s anschaue sind diese doch auch alle ganz R bis auf den Fall n=1, somit auch die Vereinigung nicht abzählbar, was mache ich falsch ?
04.12.2016, 18:32	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Also erstens wäre das, was dann herauskommt keine L^p-Funktion und zweitens würde die Menge, die dabei entsteht, genau die natürlichen Zahlen enthalten, nicht ganz R, wäre also sehr wohl abzählbar. Wieso meinst du, dass das ganz R wäre? Diese Treppenfunktion nimmt doch nur natürliche Werte an, also ist $\begin{eqnarray} \lambda(\{f =\alpha\}) = 0 \end{eqnarray}$ für alle nichtnatürliche Alpha.
04.12.2016, 19:43	Zandra	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich dachte dabei das auch gilt $\begin{eqnarray} \lambda\left\{ f=\frac{1}{2} \right\} = \lambda([0,\frac{1}{2} ))=\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda\left\{ f=\frac{3}{2} \right\} = \lambda([1,\frac{3}{2} ))=\frac{3}{2} \end{eqnarray}$ usw. , was ja kompletter Schwachsinn ist, habe ich aber auch erst jetzt gemerkt, die wären natürlich alle =0 und somit hätte man natürlich nur maximal die natürlichen Zahlen raus und somit abzählbar, wie du schon sagtest. Nochmal zu den $\begin{eqnarray} A_n := \left\{ \alpha \in \left[- \infty ,\infty \right]:\lambda (\left\{ f=\alpha \right\} )>\frac 1n \right\} \end{eqnarray}$ , dabei muss doch dann $\begin{eqnarray} \{f =\alpha\} \end{eqnarray}$ mindestens ein Intervall der Länge $\begin{eqnarray} \frac {1}{n-1} \end{eqnarray}$ damit das Maß davon größer $\begin{eqnarray} \frac {1}{n} \end{eqnarray}$ ist bzw. wenn ich mir sie einzeln anschaue, dann müsste doch gelten, dass diese maximal ganz N ergeben und somit abzählbar sind: $\begin{eqnarray} A_1 := \left\{ \alpha \in \left[- \infty ,\infty \right]:\lambda (\left\{ f=\alpha \right\} )> 1 \right\}\leq \mathbb N \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A_2 := \left\{ \alpha \in \left[- \infty ,\infty \right]:\lambda (\left\{ f=\alpha \right\} )> \frac 12 \right\}\leq \mathbb N \end{eqnarray}$ ... insbesondere wäre dann die abzählbare Vereinigung über die Mengen wieder abzählbar. Hab ich das richtig verstanden oder kann man die Mengen noch weiter einschränken ? :/
04.12.2016, 20:10	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Diese Idee taugt leider auch nichts, es gibt nicht nur Intervalle als Mengen mit positivem Maß. Außerdem sind wir hier in einem abstrakten Maßraum, mit Intervallen o.Ä. muss da überhaupt nichts los sein. Nimm doch mal an $\begin{eqnarray} A_n \end{eqnarray}$ enthalte unendlich viele Elemente. Was kannst du dann über $\begin{eqnarray} \\|f\\|_p \end{eqnarray}$ sagen?
04.12.2016, 21:33	Zandra	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe leider große Probleme mit dem Verständnis dieser abstrakten Lp Räume definiert ist das ganze ja so $\begin{eqnarray} \\|f\\|_p := \left(\int_{}^{} \! \|f\|^{p} \, dx \right)^{\frac{1}{p} } , p\in \left[1,\infty \right) \end{eqnarray}$ und meine gegebene Funktion ist ja daraus, also $\begin{eqnarray} f\in L^{p} \left(\lambda \right) \end{eqnarray}$ Wenn jetzt A_n unendlich viele Elemente beinhaltet, heißt das ja das es unendlich viele alphas gibt für die gilt $\begin{eqnarray} \lambda (\left\{ f=\alpha \right\} )>\frac 1n \end{eqnarray}$ ich verstehe leider gerade garnicht was mir jetzt das eine über das andere aussagt
04.12.2016, 23:06	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, die Mengen $\begin{eqnarray} A_n \end{eqnarray}$ waren falsch definiert von mir. Was ich eigentlich haben wollte, war zuerst mal $\begin{eqnarray} A_n := \{\alpha\in[-\infty,\infty]:\quad \|\alpha\|>\frac{1}{n} ~\land~\lambda(\{f=\alpha\}) > \frac 1n\} \end{eqnarray}$ . Falls unsere Ursprungsmenge überabzählbar ist, muss mindestens eines der $\begin{eqnarray} A_n \end{eqnarray}$ überabzählbar sein. Sagen wir $\begin{eqnarray} A_n \end{eqnarray}$ wäre eine solche überabzählbare Menge. Für jedes $\begin{eqnarray} \alpha\in A_n \end{eqnarray}$ bekommen wir $\begin{eqnarray} \int_{\{f=\alpha\}}\|f\|^p \geq \|\alpha\|^p\lambda(\{f=\alpha\})\geq \frac{1}{n^{p+1}} =: C > 0 \end{eqnarray}$ . Dabei hängt $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ nicht von $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ ab. Siehst du, warum das zu einem Widerspruch führt?
06.12.2016, 20:00	Zandra	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry für die späte Rückmeldung, habe mir das ganze nochmal versucht in Ruhe zu überlegen, deine Abschätzungen kann ich alle nachvollziehen, auch wenn ich selbst jetzt nich direkt darauf gekommen wäre. Aber das die nen wiederspruch zur überabzählbarkeit der A_n zeigen ist mir leider immernoch nicht bewusst. Ich habe doch jetzt nur ne Abschätzung nach unten, das dieses Integral über der zu betrachtenen Menge größer ist als diese Konstante C. Wobei C bei n gegen unendlich doch gegen 0 geht , somit würde ich zusätzlich denken das C nur größer gleich 0 ist. Aber in wiefern dann A_n nicht überabzählbar sein kann, verstehe ich noch nicht :/ Würde mich freuen wenn du dazu vllt noch mal was sagen kannst
06.12.2016, 21:40	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du zu $\begin{eqnarray} \int_{\{f=\alpha_1\}}\|f\|^p \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} \alpha_1\in A_n \end{eqnarray}$ mal das Integral $\begin{eqnarray} \int_{\{f=\alpha_2\}}\|f\|^p \end{eqnarray}$ dazuaddierst, dann ist das einerseits immernoch kleiner als $\begin{eqnarray} \\|f\\|_p^p \end{eqnarray}$ andererseits aber größer als $\begin{eqnarray} 2C \end{eqnarray}$ . Nun hast du unendlich viele $\begin{eqnarray} \alpha\in A_n \end{eqnarray}$ , da kannst du also ohne Probleme noch $\begin{eqnarray} \int_{\{f=\alpha_3\}}\|f\|^p \end{eqnarray}$ , etc. dazu addieren und das bleibt alles kleiner als $\begin{eqnarray} \\|f\\|_p^p \end{eqnarray}$ ..
07.12.2016, 09:28	Zandra	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt hats endlich Klick gemacht, vielen vielen Dank für die ausführliche Hilfe!

Neue Frage »

Antworten »

Maß einer Menge (abzählbar)

Verwandte Themen