Basis

04.12.2016, 10:30	alex96	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis Hey ich muss diese Aufgabe hier lösen und weiß dieses mal überhaupt nicht wie sie gemeint ist. Es seien A= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3&1&1 \\ 2&2&1 \\1&3&3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ v= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und w= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ als rationale Matrix bzw. Spalten gegeben. Zeige, dass die Spalten von A eine Basis von $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ ^3x1 bilden und berechne die Koordinatenspalten von v und w bezüglich dieser Basis. Was ist hier dann mit die Spalten von A bilden eine Basis von Q^3x1 gemeint? Und wie zeige ich das? Danke schonmal
04.12.2016, 10:54	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Spalten von A sind 3 Vektoren, sie sind genau dann eine Basis des 3-dimensionalen Vektorraums $\begin{eqnarray} \mathbb Q^3 \end{eqnarray}$ , wenn sie linear unabhängig sind. Lineare Unabhängigkeit zeigt man einfachsten durch Rang-Berechnung mit dem Gauß-Algorithmus. Man kann auch die Determinante berechnen. Man kann auch die Definition der linearen Unabhängigkeit benutzen. Wenn die Vektoren eine Basis sind, lässt sich jeder Vektor eindeutig als Linearkombination dieser Basis darstellen, also auch die Vektoren v und w.
04.12.2016, 11:36	alex96	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bringe die Matrix dann also auf Stufenform, aber vertausche Spalten und Zeilen, weil die Spalten linear unabhängig sein müssen. Und wenn ich diese als Stufenform habe, was mache ich dann genau? Die Linearkombination verstehe ich noch nicht ganz. Die haben wir letzte Stunde erst eingeführt.
04.12.2016, 17:36	alex96	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe jetzt die Zeilen und Spalten vertauscht und die Matrix auf Stufenform gebracht und weiß nun, dass die Vektoren linear unabhängig und damit die Basis sind. Wie kann ich die Vektoren v und w aber jetzt als Linearkombination dieser Basis darstellen?
04.12.2016, 17:53	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Egal ob Zeilenrang oder Spaltenrang, das ist immer dasselbe und heißt Rang der Matrix. Wenn wir wissen, dass der Rang 3 ist, sind die Vektoren linear unabhängig, das gilt für Zeilenvektoren und für Spaltenvektoren. Die Spalten bilden also eine Basis, d.h. es gibt $\begin{eqnarray} \alpha,\beta,\gamma \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \alpha\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+\gamma\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und es gibt $\begin{eqnarray} \delta,\epsilon,\zeta \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \delta\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}+\epsilon\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+\zeta\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ (das sind zwei lineare Gleichungssysteme in den "griechischen Variablen" )

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