Irrationalität von Wurzel 2 beweisen.

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larslarson Auf diesen Beitrag antworten »
Irrationalität von Wurzel 2 beweisen.
Meine Frage:
Hallo,
wegen eines Beweises der Irrationalität von Wurzel(2) brauche ich natürlich nicht eure Hilfe, jedoch gibt es beim Beweis eine Vorgabe.
Ich soll nämlich die Irrationalität von Wurzel 2 unter Zuhilfenahme von der Formel:
, wobei
Wenn eine rationale Zahl r diese Formel erfüllt, dann ist r eine ganze Zahl.

Ich muss zugeben, dass ich die Formel nicht wirklich verstehe, schon weil ich nicht weiß für was n steht...
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte. smile

Meine Ideen:
Beim normalen Beweis würde ich erst einmal annehmen, dass in der Form dargestellt werde kann. und am Ende gäbe es einen Widerspruch, da p und q Teiler von einander wären...
Kann ich das auch in diesen Beweis einbringen?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

das ist so zu verstehen: Wenn eine beliebige rationale Zahl ist, für die man irgendeine natürliche Zahl findet und ganze Zahlen , sodass , dann muss schon eine ganze Zahl gewesen sein.

Mit anderen Worten: Jedes Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten, dessen führender Koeffizient ist, hat als Nullstellen nur ganze Zahlen und irrationale Zahlen, d.h. eine rationale Nullstelle ist automatisch eine ganze Zahl.
larslarson Auf diesen Beitrag antworten »

OK, ich verstehe, wie man damit zeigen könnte das ein rationale Zahl eine ganze Zahl ist, aber wie kann ich nun daraus schließen, dass Wurzel(2) keine rationale Zahl ist. Wenn ich zeige, dass diese Formel nicht für Wurzel(2) gilt, könnte es ja theoretisch immer noch sein das Wurzel(2) zwar keine ganze Zahl ist, aber trotzdem rational. Oder habe ich was falsch verstanden?
larslarson Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube ich habe unsinn geschrieben...
Also heißt das, dass diese Formel für keine rationale gilt, da r eine ganze Zahl sein muss. Aber eine rationale Zahl muss in der Form p/q darstellbar sein, wobei gilt das p und q keine gemeinsamen Teiler sind.
Oder spinne ich jetzt völlig?
larslarson Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte ignorieren, dass ich gerade behauptet hab, dass ganze Zahlen keine reellen Zahlen sein können
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe das Problem um ehrlich zu sein nicht so ganz. Hast du die Formel jetzt verstanden?

Insbesondere die Umformulierung mit dem Polynom ist doch leicht verständlich oder nicht?
 
 
larslarson Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe schon, was die Formel aussagt, aber ich sehe den Zusammenhang zur Irrationalität leider nicht. Vielleicht heißt das, dass ich die Aussage der Formel doch nicht vollkommen verstehe
larslarson Auf diesen Beitrag antworten »

kannst du mir bitte nocheinmal ganau erklären, was mit: "hat als Nullstellen nur ganze Zahlen und irrationale Zahlen, d.h. eine rationale Nullstelle ist automatisch eine ganze Zahl."
gemeint ist.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, man nimmt sich ein beliebiges Polynom so wie oben her und untersucht es auf Nullstellen.

Die Aussage ist, dass es keine rationalen Nullstellen gibt, die nicht schon ganze Zahlen sind. Sowas wie als Nullstelle wäre also nicht möglich. Jegliche Nullstelle müssen ganze Zahlen oder irrationale Zahlen sein. all diese Zahlen sind unmöglich Nullstellen eines solchen Polynoms. Sowas wie hingegen schon (ok, eigentlich nicht, aber das ist nochmal was anderes und hat nichts mit dem Satz oben zu tun).
larslarson Auf diesen Beitrag antworten »

und wie finde ich heraus, von welchem Polynom Wurzel(2) die Nullstelle ist?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Da kannst du mal ein bisschen herumprobieren, bekomme ein Gefühl dafür. Das ist so ziemlich das einzige, was bei der Aufgabe zu tun ist.
larslarson Auf diesen Beitrag antworten »

ist:
richtig?

wäre eine Lösung, oder?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist gewissermaßen die Definition von Wurzel 2.

Jetzt musst du also nurnoch nachweisen, dass Wurzel 2 nicht ganzzahlig sein kann.
larslarson Auf diesen Beitrag antworten »

reicht es wenn ich schreibe, dass es keine ganze Zahl gibt, welche mit sich selbst multipliziert 2 ergibt?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Und aus welchem Grund gibt es sowas nicht?
larslarson Auf diesen Beitrag antworten »

weil 1*1 = 1 und 2*2 = 4 ?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ein gutes Argument. Wegen Monotonie können es dann auch keine natürlichen Zahlen größer als 2 sein
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