Epsilon-Kriterium bei gebrochenrationalen Folgen

04.12.2016, 20:42

serk

Epsilon-Kriterium bei gebrochenrationalen Folgen

Meine Frage:
Hallo smile

folgende frage , habe die folge $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{2n^{4}+3n^{3}+\frac{2}{n} }{3n^{4}+8n^{2} +7n+2} \end{eqnarray*}$
und habe den Grenzwert herausbekommen mit $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ .
Nun muss ich das Ganze noch formel durch das Epsilon-Kriterium beweisen .
Also gilt zu zeigen $\begin{eqnarray*} | \frac{2n^{4}+3n^{3}+\frac{2}{n} }{3n^{4}+8n^{2} +7n+2} - \frac{2}{3}| < \epsilon \end{eqnarray*}$ . Nach Umformen erhalte ich folgendes
$\begin{eqnarray*} | \frac{9n^{3}+16n^{2}+14n+4+\frac{6}{n} }{9n^{4}+24n^{2} +21n+6} | < \epsilon \end{eqnarray*}$
Nun würde ich mich freuen wenn ihr mir helfen könntet ,dass nach n umzuformen.
. Hoffe es hat mit Latex funktioniert, benutze es zum ersten mal.
Vielen dank im vorraus smile

Meine Ideen:
Meine Idee wäre es iwie abschätzen zu können , heißt statt
$\begin{eqnarray*} | \frac{9n^{3}+16n^{2}+14n+4+\frac{6}{n} }{9n^{4}+24n^{2} +21n+6} | < \epsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |\frac{9n^{3} }{9n^4} = \frac{1 }{n} |< \epsilon \end{eqnarray*}$ zu betrachten und hier wäre es einfach $\begin{eqnarray*} n= \frac{1}{\epsilon} \end{eqnarray*}$

EDIT: Latex-Tags eingefügt (klarsoweit)

04.12.2016, 20:46

serkar

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RE: Epsilon Kriterium bei gebrochen rationalen folgen
Entschuldigt , habe die Frage gestellt ohne mich vorher anzumelden ! Big Laugh

05.12.2016, 10:15

klarsoweit

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RE: Epsilon Kriterium bei gebrochen rationalen folgen

Zitat:

Original von serk
Nach Umformen erhalte ich folgendes
$\begin{eqnarray*} | \frac{9n^{3}+16n^{2}+14n+4+\frac{6}{n} }{9n^{4}+24n^{2} +21n+6} | < \epsilon \end{eqnarray*}$

Richtig ist: $\begin{eqnarray*} \left| \frac{9n^3 - 16n^2 - 14n - 4 + \frac6 n}{9n^4+24n^2 +21n+6} \right| < \epsilon \end{eqnarray*}$

Wir betrachten die Folge a_n nur für n >= 16. Dann ist $\begin{eqnarray*} 9n^3 \geq 16n^2 + 14n + 4 \end{eqnarray*}$ und der Zähler positiv.

Nun kannst du von $\begin{eqnarray*} \frac 1 n < \epsilon \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \left| \frac{9n^3 - 16n^2 - 14n - 4 + \frac6 n}{9n^4+24n^2 +21n+6} \right| < \epsilon \end{eqnarray*}$ folgern. smile

06.12.2016, 17:25

serkar

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RE: Epsilon Kriterium bei gebrochen rationalen folgen
Danke für die Hilfe smile

, kannst du mir noch erklären, warum du gerade n>= 16 gewählt hast ?

MfG Serkar

07.12.2016, 08:22

klarsoweit

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RE: Epsilon Kriterium bei gebrochen rationalen folgen
Damit - ich erwähnte es:

Zitat:

Original von klarsoweit
Wir betrachten die Folge a_n nur für n >= 16. Dann ist $\begin{eqnarray*} 9n^3 \geq 16n^2 + 14n + 4 \end{eqnarray*}$ und der Zähler positiv.

der Zähler garantiert positiv ist und somit die Betragsstriche entfallen können, was die ganze Rechnerei durchaus vereinfacht. Augenzwinkern

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