Stetige Projektoren in normierten Räumen

05.12.2016, 11:41

Troo

Stetige Projektoren in normierten Räumen

Meine Frage:
Sei X ein normierter Raum und L ein endlich dimensionaler linearer Teilraum.
1) Zeige, dass es endlich viele Elemente $\begin{eqnarray*} l_1,......,l_n \end{eqnarray*}$ in L und Elemente $\begin{eqnarray*} f_1,......,f_n \end{eqnarray*}$ in X' sodass
$\begin{eqnarray*} l=\sum\limits_{i=1}^{n} f_i(l)l_i \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} l \in L \end{eqnarray*}$

2) Zeige, dass es eine stetige Projektion von X nach L gibt. (i.e. Zeige, dass es eine stetige Abbildung $\begin{eqnarray*} P: X-> L \end{eqnarray*}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray*} P(X)=L \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P^2 = P \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
beim ersten muss doch eigentlich gezeigt werden, dass L eine Basis bildet.. oder habe ich das nicht ganz richtig verstanden?
Leider bin ich bei dieser Aufgabe echt ziemlich ratlos unglücklich

05.12.2016, 21:50

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RE: Stetige Projektoren in normierten Räumen
L ist ein Teilraum, wie soll der eine Basis bilden? Aber L hat eine Basis...

06.12.2016, 11:38

Yuhe

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RE: Stetige Projektoren in normierten Räumen
Hmm.. kannst du mir ein bisschen mehr helfen?

06.12.2016, 21:51

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RE: Stetige Projektoren in normierten Räumen
Was soll ich da noch viel sagen. Nimm dir eine Basis von L und nutze deren Eigenschaften.
Ist X' der Raum der stetigen Linearformen? Über welchem Körper lebt X?

07.12.2016, 12:40

Yuhe

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RE: Stetige Projektoren in normierten Räumen
Tut mir Leid, habe einfach keine Ahnung wie mir das die Aufgabe lösen soll.. Hammer

08.12.2016, 21:56

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RE: Stetige Projektoren in normierten Räumen
L ist ein endlich dimensionaler linearer Teilraum, hat also eine Basis $\begin{eqnarray*} l_1,......,l_n \end{eqnarray*}$ . Also kann man jedes $\begin{eqnarray*} l \in L \end{eqnarray*}$ schreiben als $\begin{eqnarray*} l=\sum\limits_{i=1}^{n} f_il_i \end{eqnarray*}$ mit eindeutig bestimmten Koeffizienten, die von l abhängen, also $\begin{eqnarray*} l=\sum\limits_{i=1}^{n} f_i(l)l_i \end{eqnarray*}$ .

09.12.2016, 10:53

Yuhe

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RE: Stetige Projektoren in normierten Räumen
Klar, aber wie zeige ich, dass die $\begin{eqnarray*} f_i \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} X' \end{eqnarray*}$ kommen?

09.12.2016, 18:40

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RE: Stetige Projektoren in normierten Räumen
Ach, klar. Warum hast du dann nicht mal was zu dem Thread beigetragen?
Nicht mal meine Fragen

Zitat:

Ist X' der Raum der stetigen Linearformen? Über welchem Körper lebt X?

beantwortest du.

10.12.2016, 10:51

Yuhe

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RE: Stetige Projektoren in normierten Räumen
Oh man sorry, hast du diesen Post im Nachhinein bearbeitet? Habe diese Fragen echt nicht gesehen.

X' ist der Dualraum, also jap alle stetigen Funktionale von X nach F. Und jap wir haben keinen bestimmten körper, also einfach F.

10.12.2016, 17:50

Yuhe

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RE: Stetige Projektoren in normierten Räumen
Wär aber cool wenn du mir trotzdem helfen kannst smile

12.12.2016, 23:15

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RE: Stetige Projektoren in normierten Räumen
Mir fällt nur der Fortsetzungssatz von Hahn-Banach ein.

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