Real- und Imaginärteil holomorpher Funktionen wieder holomorph?

05.12.2016, 13:02

Shalec

Real- und Imaginärteil holomorpher Funktionen wieder holomorph?

Hallo allerseits,

ich habe eine Frage zur Holomorphie. Sei $\begin{eqnarray*} f: U\to \mathbb C, U\subset\mathbb C \end{eqnarray*}$ offen.
Beh: f holomorph $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Re(f), Im(f) holomorph
Dabei wird interpretiert $\begin{eqnarray*} Re(f), Im(f): U\to \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Ich bin der Meinung, dass dies der Fall ist. Man kann f wie folgt als Summe schreiben:
$\begin{eqnarray*} f= Re(f)+iIm(f) \end{eqnarray*}$ also auch $\begin{eqnarray*} f-Re(f) = i Im(f) \end{eqnarray*}$
Es ist f holomorph.

1) Im Falle, dass weder Re noch Im holomorph sind, würde das dazu einen Widerspruch liefern. (Summen holomorpher Funktionen sind wieder holomorph)

2) Angenommen Re ist holomorph, aber Im nicht, dann Widerspruch. Analog Im holo und Re nicht.

Einziges gedankliches Problem sehe ich in 1. Ich kenne kein Beispiel einer holomorphen Funktion, die sich als Summe zweier nicht holomorpher Funktionen schreiben ließe. Aufgrund der Summenregel für holomorphe Funktionen gehe ich der Annahme, dass es kein solches Beispiel gibt. Es ist für mich auch logisch nicht möglich - aber hier kann mich meine Logik natürlich täuschen Augenzwinkern

Viele Grüße

05.12.2016, 13:13

HAL 9000

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seltsame Behauptung
I.a. sind weder Real- noch Imaginärteil holomorph (eine triviale Ausnahme sind konstante Funktionen), das sieht man bereits direkt an der Funktion $\begin{align*} f(z)=z \end{align*}$ :

Überprüfe da doch mal das Erfülltsein der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen. unglücklich

Zitat:

Original von Shalec
1) Im Falle, dass weder Re noch Im holomorph sind, würde das dazu einen Widerspruch liefern. (Summen holomorpher Funktionen sind wieder holomorph)

Unfug, da ist kein Widerspruch.

Zitat:

Original von Shalec
2) Angenommen Re ist holomorph, aber Im nicht, dann Widerspruch. Analog Im holo und Re nicht.

Der Schluss ist richtig. Wenngleich es wegen der Falschheit von 1) nichts nützt.

06.12.2016, 16:45

Shalec

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Hm..na gut. Ich wundere mich nur, da jede holomorphe Funktion die CRD (Cauchy Riemannschen DGL) Re und Im lassen sich als $\begin{eqnarray*} f_1, f_2 \end{eqnarray*}$ ansehen. Also würde im Falle $\begin{eqnarray*} f_1 = Re(f) \end{eqnarray*}$ gerade $\begin{eqnarray*} Im(f_1)=0 \end{eqnarray*}$ folgern. Wäre $\begin{eqnarray*} f_{1} \end{eqnarray*}$ holomorph wären nach den CRD die ersten Ableitungen alle 0. Was das nun interpretativ zu bedeuten hat, weiß ich derzeit nicht :/

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Wie sieht es denn damit aus:

Re und Im holomorpher Funktionen sind immer stetig (reell) differenzierbar. Hier würde ich in jedem Fall einen Widerspruch sehen, anderenfalls könnten die holomorphen Funktionen die CRD nicht erfüllen.

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