Grenzwert von Folge bestimmen

05.12.2016, 17:05

Zutzuw232

Grenzwert von Folge bestimmen

Meine Frage:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n(n-\sqrt{n^2+1}) } \end{eqnarray*}$ Bestimmen sie den Grenzwert der Folge für lim n -> + unendlich

Meine Ideen:
Ich habe keinen Ansatz habe schon versucht *n oder ähnliches zu Rechnen und dann mit den Grenzwertrechenregeln aber komme da nicht weiter.

Kann mir jemand einen Ansatz geben?

05.12.2016, 17:13

Matt Eagle

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RE: Grenzwertbestimmen Folge
Erweitere den Bruch so, dass mittels 3. bin. Formel die Wurzel im Nenner verschwindet.

05.12.2016, 17:21

Zutzuw232

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Könntest du das meinen?

$\begin{eqnarray*} | * (n^2 + \sqrt{n^2 +1}) \end{eqnarray*}$

05.12.2016, 17:22

Zutzuw232

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Ahhh da fehlt ein n vor der Wurzel für meinen Vorschlag.

05.12.2016, 18:33

Matt Eagle

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Zitat:

Original von Zutzuw232
Könntest du das meinen?

$\begin{eqnarray*} | * (n^2 + \sqrt{n^2 +1}) \end{eqnarray*}$

Nö, ich könnte eher die Multiplikation von $\begin{eqnarray*} \frac 1{n\left(n-\sqrt{n^2+1}\right)} \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} \frac{n+\sqrt{n^2 +1}}{n+\sqrt{n^2 +1}} \end{eqnarray*}$

gemeint haben.

05.12.2016, 20:13

Zutzuw232

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dann komme ich auf $\begin{eqnarray*} \frac{n+\sqrt{n^2 +1} }{n} \end{eqnarray*}$

aber dann habe ich oben ja immer noch eine Wurzel verwirrt

05.12.2016, 20:35

Matt Eagle

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Und... schlimm?

Offenbar (AM-GM!) gilt doch

$\begin{eqnarray*} n+\frac 1{2n}\geq \sqrt{n^2+1}\geq n \end{eqnarray*}$

und damit folgt dann schon

$\begin{eqnarray*} 2+\frac 1{2n^2}\geq \frac{n+\sqrt{n^2+1}}n\geq 2. \end{eqnarray*}$

Mit dem Einschließungskrit. war's das dann.

05.12.2016, 20:47

Matt Eagle

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Zitat:

Original von Zutzuw232
dann komme ich auf $\begin{eqnarray*} \frac{n+\sqrt{n^2 +1} }{n} \end{eqnarray*}$

Eher so:

$\begin{eqnarray*} \frac{n+\sqrt{n^2 +1} }{-n} \end{eqnarray*}$

05.12.2016, 21:10

Zutzuw232

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Also da komme ich jetzt nicht mehr mit wieso kommen wir da dann auf Ungleichungen? Eigentlich wollte ich den Term insofern umformen, dass ich da am Ende einen Ausdruck habe, so dass ich den Grenzwert nahezu "trivialerweise" bestimmen kann. Einschließkriterium werde ich nicht benutzen können und warum im Nenner -n steht weiss ich auch nicht.

06.12.2016, 09:20

klarsoweit

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Zitat:

Original von Zutzuw232
warum im Nenner -n steht weiss ich auch nicht.

Da hilft intensives Nachrechnen. Es ist aber leicht einzusehen, daß $\begin{eqnarray*} n-\sqrt{n^2+1} < 0 \end{eqnarray*}$ und somit der ganze Bruch negativ sein muß. smile

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n(n-\sqrt{n^2+1}) } \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Zutzuw232
Also da komme ich jetzt nicht mehr mit wieso kommen wir da dann auf Ungleichungen?

Siehe binomische Formel: $\begin{eqnarray*} (n+ \frac{1}{2n})^2 = n^2 + 1 + \frac{1}{4n^2} > n^2+1 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Zutzuw232
Eigentlich wollte ich den Term insofern umformen, dass ich da am Ende einen Ausdruck habe, so dass ich den Grenzwert nahezu "trivialerweise" bestimmen kann.

Dann schreibe: $\begin{eqnarray*} \frac{n+\sqrt{n^2+1}}{-n} = -1 \cdot (1 + \frac 1 n \cdot \sqrt{n^2+1} = ... \end{eqnarray*}$

06.12.2016, 09:21

klarsoweit

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Zitat:

Original von Zutzuw232
warum im Nenner -n steht weiss ich auch nicht.

Da hilft intensives Nachrechnen. Es ist aber leicht einzusehen, daß $\begin{eqnarray*} n-\sqrt{n^2+1} < 0 \end{eqnarray*}$ ist und somit der ganze Bruch negativ sein muß. smile

Zitat:

Original von Zutzuw232
Also da komme ich jetzt nicht mehr mit wieso kommen wir da dann auf Ungleichungen?

Siehe binomische Formel: $\begin{eqnarray*} (n+ \frac{1}{2n})^2 = n^2 + 1 + \frac{1}{4n^2} > n^2+1 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Zutzuw232
Eigentlich wollte ich den Term insofern umformen, dass ich da am Ende einen Ausdruck habe, so dass ich den Grenzwert nahezu "trivialerweise" bestimmen kann.

Dann schreibe: $\begin{eqnarray*} \frac{n+\sqrt{n^2+1}}{-n} = -1 \cdot (1 + \frac 1 n \cdot \sqrt{n^2+1}) = ... \end{eqnarray*}$

06.12.2016, 11:34

Mathe<3

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Hallo zutzuw232, ich würde dir gerne helfen smile

Das Sandwich theorem(Einschließungssatz) sagt :

Seien $\begin{eqnarray*} x_{n} und y_{n} \end{eqnarray*}$ zwei reele Folgen mit $\begin{eqnarray*} \lim_{xn \to \infty} = a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{yn\to \infty} = a \end{eqnarray*}$ xn<= yn
für fast alle n. ist $\begin{eqnarray*} w_{n} \end{eqnarray*}$ eine weitere folge mit xn<= wn <= yn für fast alle n so Konvegiert $\begin{eqnarray*} w_{n} \end{eqnarray*}$ und zwar ebenfalls gegen a.

Dieser Satz wurde in der Aufgabe von @Matt Eagle benutzt.

Sei $\begin{eqnarray*} x_{n} = 2+\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lim_{xn \to \infty } = 2 \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} y_{n} = 2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lim_{yn \to \infty } = 2 \end{eqnarray*}$

und es gilt das $\begin{eqnarray*} x_{n}\leq w_{n}\leq y_{n} \end{eqnarray*}$ so muss die Folge $\begin{eqnarray*} w_{n} \end{eqnarray*}$ auch den Selben Grenzwert haben also 2.

Wie kommt man auf diese Ungleichung ?

Du hast die Folge :

$\begin{eqnarray*} w_{n}= \frac{n+\sqrt{n^{2}+1 } }{n} \end{eqnarray*}$

nun bestimme eine Folge xn und yn mit den selben Grenzwerten sodass xn<= wn <= yn gilt.
(Siehe Matt Eagle und Klarsoweit) Das wars dann auch Wink

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