Linearkombination von Vektoren in einem Würfel

05.12.2016, 22:28	Marsuxxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Linearkombination von Vektoren in einem Würfel Ich habe ein großes Problem mit der Aufgabe im Anhang, vor allem, weil keine Zahlen gegeben sind. Da der Punkt S die Raumdiagonale AE im Verhältnis 1:3 teilt, ist ja untere Teil ¾ und der obere Teil ¼ Längeneinheiten. Also könnte ich für schreiben: OS = a + ¾ AE Aber wie geht es weiter? Ich hoffe, ihr könnt mir helfen … Schon einmal vielen Dank!
05.12.2016, 23:30	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Linearkombination von Vektoren in einem Würfel versuche aufzustellen $\begin{eqnarray} \overrightarrow{OT}=\overrightarrow{OD}+\lambda\cdot\overrightarrow{DS} \end{eqnarray}$ und beachte, dass die 3 Vektoren lua sind
06.12.2016, 21:24	Marsuxxx	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Linearkombination von Vektoren in einem Würfel Für OD könnte ich ja auch schreiben: $\begin{eqnarray} \vec{OD} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} \end{eqnarray}$ Linear unabhängig heißt ja $\begin{eqnarray} \lambda_{1} \vec{a} + \lambda_{2} \vec{b} + \lambda_{3}\vec{c} = 0 mit \lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda_{3}=0 \end{eqnarray}$ Was bringt mir das jetzt? Irgendwie tue ich mich mit der Aufgabe schwer, da keine Zahlen gegeben sind. Vielleicht kann mir ja bitte jemand etwas ausführlicher erklären, wie ich zu meiner Lösung komme. Danke!
07.12.2016, 00:51	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst ist der Text missverständlich: Die Raumdiagonale teilt AE im Verhältnis 3:1 (von A aus) (nicht 1:3) und auch ist weder D noch S eine Gerade, sondern es handelt sich um die Gerade DS. Also liegt ein nachlässig formulierter Text vor, das spricht nicht für den Aufgabensteller. ------------- Zum Problem: Ja, es stimmt, $\begin{eqnarray} \overrightarrow{OD} = \vec a + \vec b + \vec c \end{eqnarray}$ und auch die lin. Unabh. hast du ganz richtig geschrieben. Du musst nun aus den Verhältnissen in der Figur die entsprechende Linearkombination erstellen und die einzelnen Faktoren (das sind dann Ausdrücke in den "Lambdas") Null setzen. Damit ergeben sich 3 einfache Gleichungen, woraus die 3 "Lambdas" berechnet werden können. Wir gehen - wie bereits angegeben - von dem Ansatz $\begin{eqnarray} \overrightarrow{OT} = \vec t = \overrightarrow{OD} + \lambda \overrightarrow{DS} \end{eqnarray}$ aus. Der Schlüsselpunkt ist, dass aus dem gegebenen Teilverhältnis der Vektor $\begin{eqnarray} \overrightarrow{DS} \end{eqnarray}$ zu berechnen ist. Aus dem Teilverhältnis folgt AS = (3/4)AE und damit die Vektorgleichung $\begin{eqnarray} \frac 3 4 \overrightarrow{AE} + \overrightarrow {SD} = \vec b + \vec c \end{eqnarray}$ Aus der Figur wird nun $\begin{eqnarray} \overrightarrow{AE} \end{eqnarray}$ bestimmt und eingesetzt und mit dieser Gleichung der Vektor $\begin{eqnarray} \overrightarrow{SD}\text{ bzw. }\overrightarrow{DS} \end{eqnarray}$ bestimmt. Weiter im Ansatz: $\begin{eqnarray} \vec t = \vec a + \vec b + \vec c + \lambda (\text{berechneter Vektor DS}) \end{eqnarray}$ Setze letztendlich $\begin{eqnarray} \vec t = \mu \vec b + \nu \vec c \end{eqnarray}$ , damit steht $\begin{eqnarray} \mu \vec b + \nu \vec c = \vec a + \vec b + \vec c + \lambda (\text{berechneter Vektor DS}) \end{eqnarray}$ , alles will ich nicht für dich rechnen, schließlich sollst du auch noch etwas machen .. Bringe alles auf eine Seite und ordne nach den Vektoren $\begin{eqnarray} \vec a, \ \vec b \text{ und } \vec c \end{eqnarray}$ , (rechts steht 0) Es steht nun eine Linearkombination da, welche 0 ist und in welcher alle Faktoren vor den Vektoren Null zu setzen sind. Das sind die besagten 3 Gleichungen für $\begin{eqnarray} \lambda, \ \mu \text{ und } \nu \end{eqnarray}$ . mY+
07.12.2016, 21:52	Marsuxxx	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Linearkombination von Vektoren in einem Würfel Hallo mYthos, vielen Dank für die ausführliche Erklärung. Jetzt habe ich endlich vertstanden, was ich machen muss. Als Ergebnis habe ich dann folgendes erhalten: Lambda = 4/3 My = 2/3 Ny = 2/3
07.12.2016, 22:48	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Jawohl, super! Passt alles mY+
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