Häufungspunkt einer Folge

06.12.2016, 10:06

Mathe<3

Häufungspunkt einer Folge

Meine Frage:
Hallo alle zusammen ich habe diese Aufgabe(siehe Bild).

Meine Ideen:
Also meine Idee wäre das ich mir die ersten Folgenglieder mir anschaue und danach den Grenzwert der geraden und ungeraden Indizes ausrechne und falls diese existieren dann existiert der Häufungspunkt.
Ist dieser Ansatz richtig ?

06.12.2016, 11:39

klarsoweit

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RE: Häufungspunkt einer Folge

Zitat:

Original von Mathe<3
Also meine Idee wäre das ich mir die ersten Folgenglieder mir anschaue

Das kann helfen, um auf eine Idee zu kommen, es geht aber auch ohne.

Zitat:

Original von Mathe<3
und danach den Grenzwert der geraden und ungeraden Indizes ausrechne

Es gibt keinen Automatismus, daß die Betrachtung der geraden und ungeraden Indizes zum Ziel führt. Besser wäre es, die komplexen Zahlen in die Exponentialschreibweise zu überführen. smile

06.12.2016, 11:54

Mathe<3

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RE: Häufungspunkt einer Folge
Also die Exponentialform der Folge an wäre doch diese :

$\begin{eqnarray*} (1+i)*\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

also ist re(an)= 1/2 und im(an)=(1+i)

$\begin{eqnarray*} 1/2e^{1+i} \end{eqnarray*}$

und das ist gleich :

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} *(cos(1)+isin (1)) \end{eqnarray*}$

stimmt das ? verwirrt

06.12.2016, 12:07

Mathe<3

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RE: Häufungspunkt einer Folge
nein sorry ich habe nur mist gemacht Big Laugh

Ich muss ja für die Exponentialform den Betrag von z ausrechnen und das Argument von z.

06.12.2016, 12:20

Mathe<3

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RE: Häufungspunkt einer Folge
Aber eine frage was bringt mir das wenn ich diese Komplexe zahl in die eulersche Form bringe ? Was hat das mit dem Häufungspunkt zu tun ? Ein Häufungspunkt ist doch wenn eine teilfolge gegen eine Zahl Konvegiert oder anders gesagt ein Häufungspunkt ist eine Zahl wo unendlich viele Zahlen in der Umgebung sind.

06.12.2016, 12:51

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RE: Häufungspunkt einer Folge
Das wirst du sehen, wenn du mal $\begin{eqnarray*} (1+i)*\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ in die korrekte Exponentialform bringst. Augenzwinkern

06.12.2016, 13:57

Mathe<3

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RE: Häufungspunkt einer Folge
Um das zu machen muss ich doch den realen teil und den imaginären teill berechnen oder ? Oder ist der schon gegeben? Also ist Re(z) =1/2 und im(z)= 1 ? verwirrt

Wenn ja würde ich daraus das Argument und den betrag ausrechnen stimmts?

06.12.2016, 14:16

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RE: Häufungspunkt einer Folge

Zitat:

Original von Mathe<3
Um das zu machen muss ich doch den realen teil und den imaginären teill berechnen oder ? Oder ist der schon gegeben? Also ist Re(z) =1/2 und im(z)= 1 ? verwirrt

Wenn ja würde ich daraus das Argument und den betrag ausrechnen stimmts?

Nun ja, der Faktor 1/2 bezieht sich auch auf den Imaginärteil. smile

06.12.2016, 15:22

Mathe<3

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RE: Häufungspunkt einer Folge
Achso du meinst i/2 also ist der im(z) = 1/2

Also ist der Betrag von z
|z| = sqrt ( (1/2)^2+(1/2)^2)
1/sqrt(2)

Das Argument wäre :

Arg(z) = arctan(1)= 1/4 pi

Also ergibt sich die exponential form als

1/2 e ^( i* 1/4 pi )

Ok und nun? verwirrt

07.12.2016, 08:18

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RE: Häufungspunkt einer Folge

Zitat:

Original von Mathe<3
Also ergibt sich die exponential form als

1/2 e ^( i* 1/4 pi )

Nun ja, korrekt ist $\begin{eqnarray*} \frac 1 2 \sqrt 2 \cdot e^{i \cdot \frac 1 4 \pi} \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Zitat:

Original von Mathe<3
Ok und nun? verwirrt

Jetzt schaust du mal, was $\begin{eqnarray*} \left(\frac{1 + i}{2} \right)^n \end{eqnarray*}$ ist, und überlegst dir, wie sich das verhält. smile

07.12.2016, 09:41

Mathe<3

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RE: Häufungspunkt einer Folge
Naja wir haben ja nun die Exponentialform und diese muss ja nochmal hoch n genommen werden.
Also heißt das doch das wir immer den Realteil und Imaginärteil hoch n bekommen verwirrt

07.12.2016, 09:43

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RE: Häufungspunkt einer Folge
Weswegen haben wir denn das $\begin{eqnarray*} \frac{1 + i}{2} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \frac 1 2 \sqrt 2 \cdot e^{i \cdot \frac 1 4 \pi} \end{eqnarray*}$ umgeformt? Letzteres ist ein Produkt und das sollte sich mit n leichter potenzieren lassen. smile

07.12.2016, 09:48

Mathe<3

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RE: Häufungspunkt einer Folge
ja das stimmt. Ist also meine vermutung richtig ? Ist also der Reale und der Imaginäre teil hoch n ein Häufungspunkt ?

07.12.2016, 10:02

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RE: Häufungspunkt einer Folge
Du bist irgendwie zu hastig. Rechne doch erst mal $\begin{eqnarray*} \frac 1 2 \sqrt 2 \cdot e^{i \cdot \frac 1 4 \pi} \end{eqnarray*}$ hoch n. Was steht dann da? Welchen Betrag hat diese komplexe Zahl?

07.12.2016, 10:16

Mathe<3

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RE: Häufungspunkt einer Folge
Da steht das hier

$\begin{eqnarray*} ( \frac{\sqrt{2} }{2} (cos(pi/4)+i*sin(pi/4)))^{n} \end{eqnarray*}$

also (1/2)^n und i*(1/2)^n oder ?

07.12.2016, 10:28

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RE: Häufungspunkt einer Folge

Zitat:

Original von Mathe<3
also (1/2)^n und i*(1/2)^n oder ?

Woraus du das abliest, bleibt dein Geheimnis

Außerdem windest du dich ganz schön drumherum. unglücklich

So wird ein Schuh draus: $\begin{eqnarray*} \left(\frac 1 2 \sqrt 2 \cdot e^{i \cdot \frac 1 4 \pi} \right)^n = \left(\frac{1}{\sqrt 2} \right)^n \cdot e^{i \cdot \frac 1 4 \pi n} \end{eqnarray*}$

Welchen Betrag hat nun diese komplexe Zahl?

07.12.2016, 11:01

Mathe<3

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RE: Häufungspunkt einer Folge
Mhh ok traurig

Naja für den Betrag einer Komplexen Zahl setzen wir

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(\frac{1}{\sqrt{2} })^{2n} +e^{2\frac{pi*n}{4} } } \end{eqnarray*}$

Bestimmt ist irgendwas falsch heute ist nicht mein tag Tanzen

07.12.2016, 11:24

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RE: Häufungspunkt einer Folge
Es ist offensichtlich, daß du den Sinn und Zweck der Exponentialschreibweise der komplexen Zahlen nicht verstanden hast.

Die Schreibweise $\begin{eqnarray*} z = |z| \cdot e^{i \cdot arg(z)} \end{eqnarray*}$ impliziert doch gerade, daß der Betrag von z der Faktor vor der e-Funktion ist. Obendrein solltest du wissen, daß |a * b| = |a| * |b| ist. Das gilt auch für komplexe Zahlen. Und zum guten Schluß ist immer $\begin{eqnarray*} |e^{i \cdot \varphi}| = 1 \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

07.12.2016, 11:38

Mathe<3

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RE: Häufungspunkt einer Folge
Ich wusste das der Betrag der Kompexen Zahl gleich 1/sqrt(2) das habe ich ja auch ausgerechnet oben.
Nur was hat das alles mit dem Häufungspunkt zu tun ? Ich blick da nicht durch. Oben habe ich dir gesagt wie man auf die Exponentialschreibweise kommt dazu habe ich gesagt das man den Betrag der Komplexen Zahl Braucht und das Argument beides habe ich ausgerechnet und danach fragst du mich wieder was der Betrag der Komplexen Zahl ist das kann nur zur verwirrung führen unglücklich

Nun gut der Betrag der Komplexen Zahl ist das hier

Zitat:

Also ist der Betrag von z |z| = sqrt ( (1/2)^2+(1/2)^2) 1/sqrt(2)

was sagt mir das nun über die Häufungspunkte ?

07.12.2016, 11:57

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RE: Häufungspunkt einer Folge
OK, vielleicht war das alles etwas verwirrend. Ich fang nochmal von vorne an und lasse mal die e-Funktion weg.

Also wir betrachten $\begin{eqnarray*} z = \frac{1+i}{2} \end{eqnarray*}$ . Der Betrag ist $\begin{eqnarray*} |z| = \frac{1}{\sqrt 2} \end{eqnarray*}$ . Jetzt untersuchen wir z^n und wollen davon den Betrag ausrechnen. Es gilt |z^n| = |z|^n . Mithin ist also $\begin{eqnarray*} |z|^n = (\frac{1}{\sqrt 2})^n \end{eqnarray*}$ . Und jetzt überlege dir, wohin dieser Wert läuft.

07.12.2016, 12:00

Mathe<3

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RE: Häufungspunkt einer Folge
Dieser Wert nähert sich mit zuwachsendem n immer mehr der 0 smile

07.12.2016, 12:39

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RE: Häufungspunkt einer Folge
OK. Und wenn |z|^n gegen Null konvergiert, wohin konvergiert dann z^n ?

07.12.2016, 12:52

Mathe<3

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RE: Häufungspunkt einer Folge
Naja auch gegen null verwirrt

07.12.2016, 12:56

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RE: Häufungspunkt einer Folge
Korrekt. Also ist $\begin{eqnarray*} \left(\frac 1 2 (1+i) \right)^n \end{eqnarray*}$ eine gegen Null konvergente Folge. Was kannst du nun zu den Häufungspunkten sagen?

07.12.2016, 13:11

Mathe<3

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RE: Häufungspunkt einer Folge
Konvergente Folgen besitzen genau einen Häufungspunkt und das ist der Grenzwert. Also ist der Häufungspunkt der Komplexen Folge 0.

Einige fragen:

Wenn eine Komplexe Folge gegeben ist

zn = xn +i yn

dann Konvergiert ja diese genau dann wenn die Folge xn gegen Re(z) Konvegiert und die Folge yn gegen Im(z) Konvergiert. Kann man das hier nutzen ?

und woher weiß man denn das ohne Betrag die Folge gegen 0 Konvegiert ?
Es gilt ja wenn eine Folge an Konvergiert gegen a dann Konvergiert |an| mit Grenzwert |a|
aber die Umkehrung dieses Satzes gilt nicht. Also weshalb kann man dies sagen ?

Was ist nun mit dem Ansatz von der Exponentialschreibweise passiert ? Wird die nicht genutzt?

Also das verwirrt mich alles sehr Forum Kloppe

07.12.2016, 13:22

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RE: Häufungspunkt einer Folge

Zitat:

Original von Mathe<3
dann Konvergiert ja diese genau dann wenn die Folge xn gegen Re(z) Konvegiert und die Folge yn gegen Im(z) Konvergiert. Kann man das hier nutzen ?

Ja, wenn du mir aus dem Ärmel geschüttelt sagen kannst, wogegen x_n bzw. y_n konvergieren. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Mathe<3
und woher weiß man denn das ohne Betrag die Folge gegen 0 Konvegiert ?

Das sollte ein Satz sein, der in deinen Unterlagen steht. Big Laugh

Im Zweifelsfall: Aus $\begin{eqnarray*} ||z|^n - 0| < \epsilon \end{eqnarray*}$ folgt sofort $\begin{eqnarray*} |z|^n = |z^n - 0| < \epsilon \end{eqnarray*}$
Damit wird die Grenzwertdefinition auch von z^n erfüllt.

Zitat:

Original von Mathe<3
Was ist nun mit dem Ansatz von der Exponentialschreibweise passiert ? Wird die nicht genutzt?

Für diese Folge kann man auch darauf verzichten. Aber bei der nächsten Folge kommst du nicht drumherum. Augenzwinkern

07.12.2016, 14:12

Mathe<3

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RE: Häufungspunkt einer Folge
Ich will auch nicht drumherum kommen Augenzwinkern

würde gerne sehen wie es damit geht die Exponentialform der Komplexen Folge wäre diese :

$\begin{eqnarray*} e^{\frac{pi}{6} } \end{eqnarray*}$

so und nun ? was sagt mir über Häufungspunkte aus ?

07.12.2016, 14:24

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RE: Häufungspunkt einer Folge
Was das Argument von $\begin{eqnarray*} \frac 1 2 + \frac{\sqrt 3}{2}i \end{eqnarray*}$ angeht, hast du leider daneben gegriffen. Außerdem fehlt die komplexe Zahl i. Richtig ist daher: $\begin{eqnarray*} e^{\frac{2\pi}{6}i} \end{eqnarray*}$

Das ganze noch mit n potenziert führt zu $\begin{eqnarray*} e^{\frac{2\pi}{6} i \cdot n} \end{eqnarray*}$ .

Wie man leicht sieht, ist davon der Betrag immer 1. Alle komplexe Zahlen dieser Folge befinden sich also auf dem Rand des Einheitskreises.

Jetzt müssen wir noch schauen, was mit dem Argument, also mit dem Winkel passiert. Ich denke, da solltest du dir was überlegen. Augenzwinkern

07.12.2016, 14:45

Mathe<3

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RE: Häufungspunkt einer Folge
Jedes vielfache vom Winkel ist Grenzwert der Teilfolge kann das sein ? verwirrt

07.12.2016, 14:56

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RE: Häufungspunkt einer Folge
Na ja, da sollest du mal genauer ausdrücken, was du da meinst. Zum Beispiel, von welcher Teilfolge du da redest. Ich würde mal die Teilfolge mit n = 6k betrachten.

07.12.2016, 15:09

Mathe<3

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RE: Häufungspunkt einer Folge
$\begin{eqnarray*} ( e^{\frac{pi}{3}*i } )^{6k} \end{eqnarray*}$

Da würde 1 rauskommen.

Mhh verwirrt

Ich weiß nicht so genau

07.12.2016, 15:25

klarsoweit

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RE: Häufungspunkt einer Folge
Das ist korrekt. Nur leider verdrehst du mir die Darstellung der komplexen Zahl. Ich würde $\begin{eqnarray*} e^{2\pi k \cdot i} \end{eqnarray*}$ bevorzugen.

Da $\begin{eqnarray*} e^{\varphi \cdot i} \end{eqnarray*}$ bezüglich des Winkels phi 2pi-periodisch ist, ist $\begin{eqnarray*} e^{2\pi k \cdot i} \end{eqnarray*}$ für alle ganzzahligen k gleich. Insbesondere erhältst du den Wert, indem du k=0 einsetzt, was dann den Wert 1 ergibt. Damit hast du einen möglichen Häufungspunkt. Aber es gibt noch mehr. Wie wäre es mit der Teilfolge n = 6k+1 ?

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