Automorphismengruppe = Endomorphismengruppe |
| 06.12.2016, 12:23 | Aquintus | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Automorphismengruppe = Endomorphismengruppe Hallo zusammen, wir müssen folgenden Satz beweisen: Sei V ein Vektorraum. Das Paar (Aut(V)) ist eine Gruppe. Die Gruppe (Aut(V)) stimmt überein mit der Einheitengruppe der Endomorphismengruppe (End(V)),+,') ( End(V)) = (Aut(V)) Meine Ideen: Zunächst einmal ist mir nicht wirklich klar wie die Einheitengruppe der Endomorphisengruppe aussehen soll.Außerdem verstehe ich nicht,wieso es sich bei (End(V),+,') um eine Endomorphismengruppe handelt, da eine Gruppe ja nur eine Verknüpfung haben darf und es hier aber zwei Verknüpfungen sind. Die Menge ist ja in diesem Fall die Menge aller Funktionen zwischen zwei Vektorräumen V (richtig?? ). Eine Einheit ist doch ein Element zu dem es ein Inverses gibt mit dem es multipliziert das neutrale Element ergibt. Mein Vorgehen allgemein wäre erst mal zu zeigen dass das Paar (Aut(V)) eine Gruppe ist anhand der Gruppenaxiome. Und jede Richtung einzeln => und <= zu beweisen. Leider habe ich überhaupt keine Ahnung wie ich an das Problem herangehen soll. Ich hoffe auf Hilfe und vielen Dank im Voraus Mit freundlichen Grüßen Aquintus |
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| 06.12.2016, 12:46 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die Endomorphismen, d.h. die linearen Selbstabbildungen von V, bilden einen Ring bezüglich der Addition und der Hintereinanderausführung. Du sollst zeigen, dass die Automorphismen von V die Einheitengruppe dieses Rings bilden. Für einen endlichdimensionalen Vektorraum nimmt man eine Basis und arbeitet mit Matrizen (Darstellungsmatrizen der Endomorphismen), man zeigt dann ganz leicht, dass die invertierbaren Matrizen eine Gruppe bilden (Determinantenmultiplikationssatz). |
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