Flächenintegral Zylinder

06.12.2016, 16:56

johnny94

RE: Flächenintegral Zylinder

Meine Frage:
Hallo, ich melde mich hier nach langer Zeit wieder mal und würde mich freuen, wenn mir bei diesem Beispiel jemand auf die Sprünge hilft. smile

Für das Vektorfeld
$\begin{eqnarray*} a= \begin{pmatrix} x \\ yz+z^2 \\ 2*x*z+2*y*z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und das Flächenstück F auf dem Zylinder $\begin{eqnarray*} x^{2}+z^{2}=9 \end{eqnarray*}$ , das oberhalb der Grundrissebene z=0 , vor der Aufrissebene x=0, und zwischen der Kreuzrissebene y=0 und der zu ihr parallelen Ebene y=7 liegt, ist das folgende Integral zu berechnen.

$\begin{eqnarray*} \int_{F}^{} \! a \, dn \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:

Ich vermute ich brauche die Zylinderkoordinaten.

$\begin{eqnarray*} x=r*cos(\varphi), y=s, z=r*sin(\varphi) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} div(a)=1+z+2x+2y= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =1+r*sin(\varphi)+2s+2r*cos(\varphi) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0<z< \sqrt{9-x^{2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -3<x<0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0<y<7 \end{eqnarray*}$ wären die Grenzen von s
$\begin{eqnarray*} 0<\varphi<2\pi \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0<r<3 \end{eqnarray*}$

Es passt irgendwas nicht, denke ich.

Irgendwas mache ich hier ziemlich falsch, jetzt hab ich wirklich schon einiges herumprobiert und ich komme noch immer nicht auf einen grünen Zweig. Herauskommen sollte 126+126*pi, meins stimmt leider nicht. unglücklich

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{3} \int_{0}^{7} \! \left(1+rsin\left( \varphi\right)+2rcos\left(\varphi\right)+2s \right)r \, ds dr d\varphi \end{eqnarray*}$

Zwei Beiträge zusammengefasst. Steffen

07.12.2016, 08:00

Leopold

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Die Parameterdarstellung einer Fläche (!) kann letztlich nur von zwei Parametern abhängen. Hier ist also $\begin{align*} r=3 \end{align*}$ und somit

$\begin{align*} x = 3 \cos \varphi \, , \ \ y = s \, , \ \ z = 3 \sin \varphi \end{align*}$

So, wie ich die Beschreibung des Körpers verstehe (was oben, davor und dahinter und so weiter ist, liegt ja im Auge des Betrachters), ist über den Bereich $\begin{align*} B \end{align*}$ der Variablen $\begin{align*} \varphi,s \end{align*}$ mit

$\begin{align*} B: \ \ \frac{\pi}{2} \leq \varphi \leq \pi \, , \ \ 0 \leq s \leq 7 \end{align*}$

zu integrieren. Mit den Physiker-Konventionen bin ich nicht ganz vertraut, vermute aber, daß gilt:

$\begin{align*} \dd \vec{n} = \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial \varphi} \\ \frac{\partial y}{\partial \varphi} \\ \frac{\partial z}{\partial \varphi} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial s} \\ \frac{\partial y}{\partial s} \\ \frac{\partial z}{\partial s} \end{pmatrix} ~ \dd (\varphi,s) \end{align*}$

Damit wäre das folgende Integral zu berechnen:

$\begin{align*} \int_B \vec{a} \cdot \dd \vec{n} \end{align*}$

Im Vektor $\begin{align*} \vec{a} \end{align*}$ mußt du dabei die Variablen $\begin{align*} x,y,z \end{align*}$ auch durch ihre Parametrisierungen ersetzen. Die Multiplikation steht für das Skalarprodukt von Vektoren.
Ich hoffe, daß ich das physikergerecht interpretiert habe. Ich bekomme allerdings $\begin{align*} 126 - 126 \pi \end{align*}$ heraus, was sich in einem Vorzeichen vom angegebenen Ergebnis unterscheidet. verwirrt

Vielleicht gibt es ja einen Physiker unter unseren Mitgliedern, der da noch einmal darübergeht.

07.12.2016, 09:50

johnny94

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Vielen Dank, komme jetzt auch auf dieses Ergebnis, was ich noch nicht nachvollziehen kann warum von pi/2 bis pi und nicht von 0 bis pi/2, wo setzt man da an?
Ich hab gedacht ich kann hier den Satz von Gauß anwenden aber war wohl ein Irrtum.

07.12.2016, 13:36

Leopold

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Zitat:

Original von johnny94
was ich noch nicht nachvollziehen kann warum von pi/2 bis pi und nicht von 0 bis pi/2, wo setzt man da an?

Das kann ich auch nicht genau sagen. Vielleicht geht es auch von $\begin{align*} 0 \end{align*}$ bis $\begin{align*} \frac{\pi}{2} \end{align*}$ .

Was soll man auch mit einer solchen Aussage anfangen!

Zitat:

Original von johnny94
vor der Aufrissebene x=0

Was bedeuten schon "vor" und "nach" im Raum! Bei solch unpräzisen Angaben gibt es auch nur eine unklare Lösung.

Aber vielleicht habt ihr diese Begriffe im Unterricht auch irgendwie normiert. Das kannst dann nur du wissen.

07.12.2016, 14:47

johnny94

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Ist ein Maple-Beispiel zum Lösung eintippen im Computer, in der Übung haben wir da nichts festgelegt, Es kann auch sein dass das Maple Beispiel fehlerhaft ist, wäre nicht das erste Mal, ich werde nächste Woche mal nachfragen.

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