Pellsche Gleichung/ Potenzieren der Minimallösung

06.12.2016, 15:52

alina94

Pellsche Gleichung/ Potenzieren der Minimallösung

Heyy,

ich habe hier in meinem Zahlentheorieskript einen Beweis über die Lösung der Pellschen Gleichung den ich leider nicht komplett nachvollziehen kann. Also der Satz besagt, dass für eine Pellsche Gleichung

$\begin{eqnarray*} x^{2}-dy^{2} = 1 \end{eqnarray*}$

mit Minimallösung $\begin{eqnarray*} \left(x_1,y_1\right) \in \mathbb N ^{2} \end{eqnarray*}$ (d.h. mit $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_1 \end{eqnarray*}$ minimal in $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ ) sich die Menge aller Lösungen aus $\begin{eqnarray*} \mathbb N ^{2} \end{eqnarray*}$ ergibt als die Menge aller $\begin{eqnarray*} \left( x,y\right) \in \mathbb N ^{2} \end{eqnarray*}$ , die sich schreiben lassen durch

$\begin{eqnarray*} x+ \sqrt{d} y = (x_1 + \sqrt{d} y_1)^{n} \end{eqnarray*}$

für ein $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ .

Zunächst wurde gezeigt, dass für alle Lösungen der Gleichung gilt

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x+ \sqrt{d}y} = x - \sqrt{d}y \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (*) \end{eqnarray*}$

was durch erweitern mit $\begin{eqnarray*} x - \sqrt{d}y \end{eqnarray*}$ ja auch logisch ist.

Daraus ist dann gefolgt, dass jedes $\begin{eqnarray*} (x_1 + \sqrt{d} y_1)^{n} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ Lösung ist.

Hier habe ich meine erste Unklarheit: Inwiefern folgt allein hieraus, dass jede solche Potenz der Minimallösung selbst wieder Lösung ist?

Was dann noch zu zeigen bleibt, ist dass sich jede Lösung $\begin{eqnarray*} \left( x,y\right) \in \mathbb N ^{2} \end{eqnarray*}$ schreiben lässt als

$\begin{eqnarray*} x+ \sqrt{d} y = \epsilon^{n} \end{eqnarray*}$

für ein $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \epsilon := x_1 + \sqrt{d}y_1 \end{eqnarray*}$ die Minimallösung. Da $\begin{eqnarray*} |\epsilon| > 1 \end{eqnarray*}$ existiert für alle natürlichen $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ offensichtlich ein $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} \epsilon ^{n} \leq x + \sqrt{d} y < \epsilon ^{n+1} \end{eqnarray*}$ ,

d.h. wir müssen für Lösungen $\begin{eqnarray*} \left(x,y\right) \end{eqnarray*}$ zeigen, dass auf der linken Seite keine echte Ungleichheit gelten kann. Das ist dasselbe, wie zu zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} \xi + \sqrt{d} \eta := \epsilon ^{-n} (x + \sqrt{d} y) = 1 \end{eqnarray*}$

( $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \eta \end{eqnarray*}$ sind dabei eindeutig, da das die eindeutige Darstellung einer quadratisch irrationalen Zahl ist, weiterhin sind $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \eta \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ wie man leicht mit $\begin{eqnarray*} (*) \end{eqnarray*}$ sieht.)

Nach dieser Definition kann man mit $\begin{eqnarray*} (*) \end{eqnarray*}$ auch berechnen, dass

$\begin{eqnarray*} \xi - \sqrt{d} \eta = \epsilon ^{n} (x - \sqrt{d}y) \end{eqnarray*}$

ist.

An der Stelle weiß ich ebenfalls keine Erklärung, ich verstehe nicht wirklich warum wir mit $\begin{eqnarray*} (*) \end{eqnarray*}$ so direkt $\begin{eqnarray*} \xi - \sqrt{d} \eta \end{eqnarray*}$ berechnen können. Also natürlich sind $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x + y \sqrt{d} \end{eqnarray*}$ Lösungen, weshalb wir die Gleichugn anwenden können, aber ich sehe dann nicht wie wir auf diese Form kommen damit.

Der Rest verläuft einfach, wir berechnen indem wir die letzten beiden Gleichungen miteinander multiplizieren

$\begin{eqnarray*} \xi^2 - d \eta ^2 = x^2 - d y^2 = 1 \end{eqnarray*}$ ,

da $\begin{eqnarray*} \left(x,y\right) \end{eqnarray*}$ nach Voraussetzung Lösung ist, $\begin{eqnarray*} \left(\xi, \eta\right) \end{eqnarray*}$ ist also ebenfalls Lösung (aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Z ^{2} \end{eqnarray*}$ ) und nimmt man an, dass $\begin{eqnarray*} \epsilon ^{n} < x + \sqrt{d} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \epsilon < \xi + \sqrt{d} \eta \end{eqnarray*}$ , erhält man durch geschickte Abschätzungen $\begin{eqnarray*} \xi, \eta > 0 \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} \xi, \eta \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , was dann wegen

$\begin{eqnarray*} x + \sqrt{d} y < \epsilon ^{n+1} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \xi + \sqrt{d} \eta < \epsilon \end{eqnarray*}$ einen Widerspruch dazu liefert, dass $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ die Minimallösung ist und wir sind fertig.

Ich habe meine beiden Fragen im Beweis fett markiert, ums bisschen übersichtlicher zu machen. Wäre sehr dankbar für jeden Ansatz wie ich hier weiterkommen könnte! smile

06.12.2016, 17:33

ollie3

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RE: Pellsche Gleichung/ Potenzieren der Minimallösung
Hallo,
deine erste Frage kann ich sofort beantworten:
Wenn man die gleichung (*) mit dem Nenner erweitert, hat man ja links 1 stehen. Und wenn man
die Gleichung dann mit einem beliebigen n potenziert, bleibt links immer noch die 1, und auf der
rechten Seite hat man dann die Potenz in genau der gewünschten Form... Augenzwinkern

gruss ollie3

06.12.2016, 18:13

RavenOnJ

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RE: Pellsche Gleichung/ Potenzieren der Minimallösung
Zu deiner 1. Frage:
Wenn du $\begin{align*} (x_1\pm\sqrt{d}y_1)^n \end{align*}$ mittels binomischer Formel expandierst, erhältst du einen Ausdruck $\begin{align*} x\pm\sqrt{d}y \end{align*}$ . Da nun wegen der Pellschen Gleichung $\begin{align*} (x_1+\sqrt{d}y_1)(x_1-\sqrt{d}y_1)=x_1^2-dy_1^2=1 \end{align*}$ gelten soll, gilt dasselbe für $\begin{align*} (x_1+\sqrt{d}y_1)^n(x_1-\sqrt{d}y_1)^n=(x_1^2-dy_1^2)^n=1 \end{align*}$ . Da $\begin{align*} d \end{align*}$ kein Quadrat ist, folgt durch direkten Koeffizientenvergleich, dass $\begin{align*} x,y \end{align*}$ in $\begin{align*} x+\sqrt{d}y:=(x_1+\sqrt{d}y_1)^n \end{align*}$ ganzzahlig sein müssen, damit ebenfalls Lösung sind.

06.12.2016, 19:18

alina94

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Vielen Dank euch beiden schon mal, ich glaube allmählich verstehe ichs.

Also mit dem Binomischen Lehrsatz erhalte ich

$\begin{eqnarray*} (x_1 + \sqrt{d}y_1)^{n} = \sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} x_1^{k} (\sqrt{d}y_1)^{n-k} = x + \sqrt{d}y \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} (x_1 - \sqrt{d}y_1)^{n} = \sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} x_1^{k} (-\sqrt{d}y_1)^{n-k} = x - \sqrt{d}y \end{eqnarray*}$ .

Dabei stimmen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ in der oberen und der unteren Gleichung überein, weil in der Summenformel in der zweiten Gleichung das negative Vorzeichen genau in den Summanden stehen bleibt, in denen die Potenz von $\begin{eqnarray*} \sqrt{d} \end{eqnarray*}$ irrational bleibt (nämlich für $\begin{eqnarray*} n-k \end{eqnarray*}$ ungerade). Sortiert man dann in beiden Gleichungen die ganzzahligen und die irrationalen Summanden kommt man eben genau auf diese Formen $\begin{eqnarray*} x + \sqrt{d}y \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} x - \sqrt{d}y \end{eqnarray*}$ . Und damit ergibt sich

$\begin{eqnarray*} x^2-dy^2 = (x + \sqrt{d}y)(x - \sqrt{d}y) = (x_1 + \sqrt{d}y_1)^n (x_1 - \sqrt{d}y_1)^n = (x_1^2 - d y_1^2)^n = 1 \end{eqnarray*}$ ,

womit die Potenz selbst Lösung ist. Kann man das so sagen?

06.12.2016, 20:54

RavenOnJ

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Ja, so ist's korrekt.

07.12.2016, 00:56

RavenOnJ

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RE: Pellsche Gleichung/ Potenzieren der Minimallösung

Zitat:

Original von alina94
Das ist dasselbe, wie zu zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} \xi + \sqrt{d} \eta := \epsilon ^{-n} (x + \sqrt{d} y) = 1 \end{eqnarray*}$

( $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \eta \end{eqnarray*}$ sind dabei eindeutig, da das die eindeutige Darstellung einer quadratisch irrationalen Zahl ist, weiterhin sind $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \eta \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ wie man leicht mit $\begin{eqnarray*} (*) \end{eqnarray*}$ sieht.)

Was ich hier nicht verstehe: Du willst zeigen, dass für jede Lösung $\begin{align*} (x,y) \end{align*}$ der Pellschen Gleichung gilt:
$\begin{align*} \exists n\in\mathbb N: \epsilon^n=x+\sqrt{d}y \end{align*}$
Was aber soll dieses $\begin{align*} \xi + \sqrt{d} \eta := \epsilon ^{-n} (x + \sqrt{d} y) = 1 \end{align*}$ ? Wenn das gilt, dann ist doch ganz klar $\begin{align*} \xi =1,\eta =0 \end{align*}$ , da $\begin{align*} \sqrt d \end{align*}$ irrational.

07.12.2016, 16:35

alina94

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Zitat:

Original von RavenOnJ
Ja, so ist's korrekt.

Perfekt, danke!

Zitat:

Original von RavenOnJ

Was ich hier nicht verstehe: Du willst zeigen, dass für jede Lösung $\begin{align*} (x,y) \end{align*}$ der Pellschen Gleichung gilt:
$\begin{align*} \exists n\in\mathbb N: \epsilon^n=x+\sqrt{d}y \end{align*}$
Was aber soll dieses $\begin{align*} \xi + \sqrt{d} \eta := \epsilon ^{-n} (x + \sqrt{d} y) = 1 \end{align*}$ ? Wenn das gilt, dann ist doch ganz klar $\begin{align*} \xi =1,\eta =0 \end{align*}$ , da $\begin{align*} \sqrt d \end{align*}$ irrational.

Es ist ja

$\begin{eqnarray*} \epsilon ^n = x + \sqrt{d}y \Leftrightarrow \epsilon^{-n}(x+ \sqrt{d} y ) = 1 \end{eqnarray*}$ ,

d.h. wir zeigen zweiteres, woraus das erste dann direkt folgt. Dazu zeigen wir dann erst, dass $\begin{eqnarray*} \left( \xi, \eta \right) \end{eqnarray*}$ Lösung aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Z ^2 \end{eqnarray*}$ ist und unter Annahme, die Gleichheit gelte nicht, würde folgen $\begin{eqnarray*} \left( \xi, \eta \right) \in \mathbb N ^2 \end{eqnarray*}$ und wir hätten eine natürliche Lösung kleiner der Minimallösung, also ein Widerspruch. Die Gleichheit gilt also tatsächlich und damit auch wie du sagst $\begin{eqnarray*} \xi = 1, \eta = 0 \end{eqnarray*}$ und es folgt die Behauptung.

08.12.2016, 11:12

RavenOnJ

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Mit anderen Worten:
Du hast angenommen, es gebe eine Lösung $\begin{align*} (x,y) \end{align*}$ mit $\begin{align*} \epsilon^n< x+\sqrt{d} y<\epsilon^{n+1} \end{align*}$ . Da sowohl $\begin{align*} \epsilon^n \end{align*}$ wie auch diese angenommene Lösung von der Form $\begin{align*} a+\sqrt{d} b,(a,b)\in\mathbb Z^2 \end{align*}$ sind, ist auch $\begin{align*} (\xi,\eta) \end{align*}$ mit $\begin{align*} 1< \xi+\sqrt{d}\eta :=\epsilon^{-n}( x+\sqrt{d} y)<\epsilon \end{align*}$ von dieser Form, also $\begin{align*} (\xi,\eta)\in\mathbb Z^2 \end{align*}$ . $\begin{align*} (\xi,\eta) \end{align*}$ ist Lösung, da $\begin{align*} \epsilon^{n}( x-\sqrt{d} y)=\xi-\sqrt{d}\eta \end{align*}$ und $\begin{align*} \xi^2-d\eta^2=(\xi+\sqrt{d}\eta)(\xi-\sqrt{d}\eta)=( x+\sqrt{d} y) ( x-\sqrt{d} y) =1 \end{align*}$ . Damit gäbe es eine Lösung mit $\begin{align*} 1<\xi+\sqrt{d}\eta<\epsilon \end{align*}$ , was im Widerspruch dazu stände, dass $\begin{align*} \epsilon:=x_1+\sqrt{d}y_1 \end{align*}$ Minimallösung ist, wenn man zeigen kann, dass $\begin{align*} (\xi,\eta)\in\mathbb N^2 \end{align*}$ . [Wenn eine nicht-triviale Lösung existiert, dann muss es eine Minimallösung $\begin{align*} (x_1,y_1)\in\mathbb N^2 \end{align*}$ geben, da $\begin{align*} \epsilon>\sqrt d \end{align*}$ . ] Mit $\begin{align*} (\xi,\eta)\in\mathbb Z^2 \end{align*}$ ist aber auch $\begin{align*} (|\xi|,|\eta|)\in\mathbb N^2 \end{align*}$ Lösung, was den Widerspruch ergibt.

Edit: Der letzte Satz ist als Begründung für die Existenz einer Lösung $\begin{align*} (\xi',\eta')\in\mathbb N^2 \end{align*}$ kleiner als die Minimallösung nicht ausreichend. Siehe meinen Post weiter unten. Eine korrekte Begründung wird von alina94 im nächsten Post gegeben.

12.12.2016, 13:33

alina94

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Zitat:

Original von RavenOnJ
Mit anderen Worten:
Du hast angenommen, es gebe eine Lösung $\begin{align*} (x,y) \end{align*}$ mit $\begin{align*} \epsilon^n< x+\sqrt{d} y<\epsilon^{n+1} \end{align*}$ . Da sowohl $\begin{align*} \epsilon^n \end{align*}$ wie auch diese angenommene Lösung von der Form $\begin{align*} a+\sqrt{d} b,(a,b)\in\mathbb Z^2 \end{align*}$ sind, ist auch $\begin{align*} (\xi,\eta) \end{align*}$ mit $\begin{align*} 1< \xi+\sqrt{d}\eta :=\epsilon^{-n}( x+\sqrt{d} y)<\epsilon \end{align*}$ von dieser Form, also $\begin{align*} (\xi,\eta)\in\mathbb Z^2 \end{align*}$ . $\begin{align*} (\xi,\eta) \end{align*}$ ist Lösung, da $\begin{align*} \epsilon^{n}( x-\sqrt{d} y)=\xi-\sqrt{d}\eta \end{align*}$ und $\begin{align*} \xi^2-d\eta^2=(\xi+\sqrt{d}\eta)(\xi-\sqrt{d}\eta)=( x+\sqrt{d} y) ( x-\sqrt{d} y) =1 \end{align*}$ . Damit gäbe es eine Lösung mit $\begin{align*} 1<\xi+\sqrt{d}\eta<\epsilon \end{align*}$ , was im Widerspruch dazu stände, dass $\begin{align*} \epsilon:=x_1+\sqrt{d}y_1 \end{align*}$ Minimallösung ist, wenn man zeigen kann, dass $\begin{align*} (\xi,\eta)\in\mathbb N^2 \end{align*}$ .

Bis hierhin genau so, ja. Die Existenz einer Minimallösung hatten wir schon aus einem vorigen Satz und, dass $\begin{eqnarray*} (\xi, \eta) \in \mathbb N^2 \end{eqnarray*}$ wurde in unserem Skript so gezeigt, indem wir aus der angenommenen Ungleichheit gefolgert haben

$\begin{eqnarray*} 1 < \epsilon^{-n}(x + \sqrt{d}y) = \xi + \sqrt{d}\eta < \epsilon \end{eqnarray*}$

und damit auch, unter Verwendung von $\begin{eqnarray*} (*) \end{eqnarray*}$ , womit gilt $\begin{eqnarray*} (\xi + \sqrt{d}y)^{-1} = \xi - \sqrt{d}\eta \end{eqnarray*}$ ,

$\begin{eqnarray*} 0 < \epsilon ^{-1} < \xi - \sqrt{d}\eta < 1 \end{eqnarray*}$ .

Dann können wir abschätzen

$\begin{eqnarray*} 2\xi = \xi + \sqrt{d}\eta + \xi - \sqrt{d}\eta > 1 + \epsilon ^{-1} \end{eqnarray*}$

und damit $\begin{eqnarray*} \xi > 0 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \xi \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ . Analog für $\begin{eqnarray*} \eta \end{eqnarray*}$ und wir sind fertig.

Dachte nur die Schritte sind für meine Fragen sowieso nicht mehr wichtig, darum hatte ich das erst nicht richtig ausgeführt.

12.12.2016, 14:25

RavenOnJ

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Ich finde meine Begründung für eine Lösung $\begin{align*} (\xi,\eta)\in\mathbb N^2 \end{align*}$ zwar einfacher, aber wohl falsch, da ja gelten könnte $\begin{align*} 1<\xi +\sqrt{d}\eta <\epsilon,(\xi,\eta)\in\mathbb Z^2 \end{align*}$ aber $\begin{align*} |\xi| +\sqrt{d}|\eta| >\epsilon \end{align*}$ . Werde meine Lösung entsprechend editieren. Eure Begründung ist auf alle Fälle gut.

Zwei Fragen:
A) Welcher Satz garantiert eine Lösung für die Pellsche Gleichung?
B) habt ihr euch an der verallgemeinerten Pellschen Gleichung $\begin{align*} x^2-dy^2=b \end{align*}$ versucht? Diese ist meines Erachtens um Längen schwieriger als der Fall b=1. Die verallgemeinerte Gleichung kam mir vor kurzem in anderem Zusammenhang unter.

18.12.2016, 00:07

alina94

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Sorry, dass ich jetzt erst antworte, ich hatte verpeilt nochmal reinzuschauen.

Zitat:

Original von RavenOnJ

Zwei Fragen:
A) Welcher Satz garantiert eine Lösung für die Pellsche Gleichung?
B) habt ihr euch an der verallgemeinerten Pellschen Gleichung $\begin{align*} x^2-dy^2=b \end{align*}$ versucht? Diese ist meines Erachtens um Längen schwieriger als der Fall b=1. Die verallgemeinerte Gleichung kam mir vor kurzem in anderem Zusammenhang unter.

Zur Existenz der Lösung hatten wir verwendet, dass für $\begin{eqnarray*} d \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ kein Quadrat alle $\begin{eqnarray*} (p_m,q_m) \end{eqnarray*}$ Lösungen der Pellschen Gleichung sind, wobei $\begin{eqnarray*} \frac{p_n}{q_n} \end{eqnarray*}$ die die Näherungsbrüche zu $\begin{eqnarray*} \sqrt{d} \end{eqnarray*}$ bezeichnen und $\begin{eqnarray*} m = \delta N k -1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ beliebig in $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ die Länge der minimalen Periode des Kettenbruchs zur Wurzel aus $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \delta = 1 \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ gerade und $\begin{eqnarray*} \delta = 2 \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ ungerade. Das garantiert die Existenz von unendlich vielen ganzzahligen Lösungen und insbesondere der Minimallösung.

Zur zweiten Frage kann ich leider nicht weiterhelfen, wir hatten nur den Fall $\begin{eqnarray*} b = 1 \end{eqnarray*}$ betrachtet.

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