Zeige dass sup||T_n|| < infty

Neue Frage »

Yuhe Auf diesen Beitrag antworten »
Zeige dass sup||T_n|| < infty
Meine Frage:
Sei X ein Bachraum und eine Folge von beschränkten linearen operatoren von X nach X sodass existiert für alle

Zeige, dass

Meine Ideen:
Also ich denke ich muss da dass Prinzip zur gleichmäßigen Beschränktheit anwenden. Dazu müsst ich zeigen dass oder?

Wie mache ich das denn? und wie gehe ich das weiter?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

dein Ansatz ergibt leider garkeinen Sinn. liegt in , also kann man nicht in einsetzen.

Es gibt hier grob zwei Möglichkeiten:

1) Betrachte für festes die Folge der Auswertungsfunktionale , wobei . Versuche, nachzuweisen, dass die (von x abhängig) in gleichmäßig beschränkt sind.

2) Betrachte für festes die Folge der Funktionale und weise nach, dass die (abhängig von ) in gleichmäßig beschränkt sind.
 
 
Yuhe Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm unser Professor hat uns geraten zweimal das Prinzip der gleichmäßigen beschränktheit anzuwenden,..

und da gilt ja falls ||T(u)|| beschränkt dann ist auch ||T|| beschränkt, deswegen mein Ansatz. Kann ich das Prinzip denn irgendwie anders anwenden?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Beide meine Ansätze laufen auf dieses Prinzip hinaus. Ich will mal ganz offen sein: das hättest du an der Formulierung der Ansätze eigentlich sehen müssen.
Yuhe Auf diesen Beitrag antworten »

Ja okay, wenn ich mir jetzt das zweite genauer überleg:

um das Prinzip anwenden zu können muss ich also zeigen dass ist beschränkt und daher beschränkt ist.

Oder bin ich da ganz falsch auf der spur?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ne, ist schon richtig.
Yuhe Auf diesen Beitrag antworten »

Willst du mir noch helfen wie ich das zeige?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke es schadet nicht, wenn du da erstmal ein bisschen selbst drüber nachdenkst, wie man das zeigen könnte. Schließlich ist meine letzte Antwort nichtmal eine halbe Stunde her und ohne ausreichend eigene Beschäftigtigung lernst du es nicht.
Yuhe Auf diesen Beitrag antworten »

Ich stehe momentan leider einfach noch bei der Logik des Beweises an.. unglücklich

Ich will zeigen das beschränkt ist und um das Prinzip anwenden zu können müsste ich haben, dass beschränkt ist.

Wie und wo baue ich das jetzt ein?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Das direkt zu zeigen geht eben nicht, deswegen auch der Hinweis des Profs, dass man dafür zwei Schritte braucht. Glaub mir doch einfach mal, dass beide Ansätze von mir ein möglicher erster Schritt sind, um das zu zeigen und versuche erstmal, meinen Tipp zu beweisen. Deswegen geb ich dir doch den Tipp: weil du das selbst nicht gesehen hast. Aber dass ich dir jetzt gleich die komplette Aufgabe löse, nur weil du diesen einen Zwischenschritt noch nicht einordnen kannst, ergibt doch überhaupt keinen Sinn. Dann hättest du nicht nur diesen Zwischenschritt nicht gesehen, sondern bei der Aufgabe gleich überhaupt nichts mehr gelernt. Jetzt setze dich doch erstmal ein wenig mit dem Tipp auseinander bevor du nach weiteren Tipps fragst.
Yuhe Auf diesen Beitrag antworten »

Kann ich nicht einfach sagen:

Betrachte
Sei
Für alle f in X' ist die Menge beschränkt, da f beschränkt und die Operatoren auch beschränkt sind.

Dann mit dem Prinzip der gleichmäßigen beschränktheit ist auch die Menge

und ist eine Isometrie und und daher die Menge beschränkt.

Und dann wiederr mit dem Prinzip ist die Menge beschränkt.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das kannst du sagen. Das ist genau Ansatz 1) nur dass du in umbenannt hast.

Allerdings ist die Begründung der Beschränktheit der Mengen nicht richtig. Du brauchst ja eine Beschränkung unabhängig von und die folgt nicht aus deinem Argument.
Yuhe Auf diesen Beitrag antworten »

Okay perfekt vielen Dank!!

Hmm okay, wieso denn nicht?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Es könnte doch zum Beispiel sein, dass und . Dann ist jedes der beschränkt aber ist für festes doch nicht beschränkt und das brauchst du hier. Natürlich konvergiert auch nicht, aber das hast du ja oben auch garnicht benutzt.
Yuhe Auf diesen Beitrag antworten »

Puuh da hast du recht.. Wie bekomme ich denn sonst die Beschränktheit her?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Versuch doch mal, die Konvergenzvoraussetzung dafür zu benutzen. Konvergente Folgen sind ...
Yuhe Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm ja jede knovergente Folge ist beschränkt! Hmm das reicht also dafür?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe die Frage nicht. Sind konvergente Folgen nun immer beschränkt oder nicht? Die Antwort darauf ist die gleiche, wie die Antwort, ob das reicht oder nicht.
Yuhe Auf diesen Beitrag antworten »

Jap, sind immer beschränkt! Okay, also danke vielmals smile
Yuhe Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe da noch einen Unterpunkt wo ich hänge:
Sei ein Banachraum und

Man soll zeigen, dass beschränkt ist. Dafür muss ich ja zeigen, dass
für ein ,

und und


Wie komme ich da zu dieser Ungleichung?

Darf ich sagen?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist denn ? Du hast doch sicherlich eine Definition dafür.
Yuhe Auf diesen Beitrag antworten »

Wie was es ist? Ein Operator zwischen den Dualräumen?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, du wirst doch irgendwelche Informationen über haben, andernfalls wirst du kaum dessen Beschränktheit nachweisen können. Es ist schließlich nicht jeder Operator zwischen Dualräumen beschränkt.
Yuhe Auf diesen Beitrag antworten »

Achso sorry, ja klar die Definition ist einfach



und die und sind wie im obrigen Beispiel!
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde mich bei sowas nicht von den Suprema abschrecken lassen, die machen es unnötig kompliziert.

Nimm dir einfach festes und her und versuche damit abzuschätzen. Erhalte damit sukzessive zuerst eine Abschätzung an und damit dann an .
Yuhe Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso muss ich abschätzen?

Ich muss ja zeigen:

Also habe ich

und ist ja beschränkt laut dem vorhergehenden Beispiel. Aber ob beschränkt ist weiß ich ja nicht oder?

Ansonsten hätte ich eine Schranke für ja gefunden?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Also habe ich


Die erste Gleichung ist falsch. Wo kommt das auf einmal her? Das ist weder eingeführt noch wäre es möglich, das einzuführen. So ein , das diese Eigenschaft hat, muss es nicht geben.

Genau aus diesem Grund schätzt man erstmal für allgemeines den Ausdruck ab.
Yuhe Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm okay aber dann

wo setzte ich das dann ein?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal ein Latex-Tipp: statt || verwende besser \| damit sieht der letzte Ausdruck in deiner Abschätzung dann gleich viel lesbarer aus: .

Du kannst auf diese Weise nicht abschätzen, weil nicht existieren muss. Du kannst ihn an dieser Stelle durch oder auch einfach ersetzen, das ist hier egal.

Da diese Abschätzung für alle gilt, folgt daraus für festes , dass .
Yuhe Auf diesen Beitrag antworten »

Ah perfekt danke danke!!

Ich hätte jetzt noch eine verständnisfrage: Wenn steht "T is an operator on X" muss der dann von X nach X abbilden? oder könnte auch sein?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Das heißt . Manche nennen auch Abbildungen Operatoren auf , die nur auf einem Teilraum von definiert sind, wenn das aber bei nirgendwo als Konvention steht, würde ich nicht davon ausgehen.
Yuhe Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, vielen Dank!
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »