Zeige dass sup||T_n|| < infty

06.12.2016, 19:41

Yuhe

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Zeige dass sup||T_n|| < infty

Meine Frage:
Sei X ein Bachraum und $\begin{eqnarray*} {T_n} \end{eqnarray*}$ eine Folge von beschränkten linearen operatoren von X nach X sodass $\begin{eqnarray*} lim_{n->\infty} f(T_nx) \end{eqnarray*}$ existiert für alle $\begin{eqnarray*} f \in X', x \in X \end{eqnarray*}$

Zeige, dass $\begin{eqnarray*} sup_{n} ||T_n|| < \infty \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Also ich denke ich muss da dass Prinzip zur gleichmäßigen Beschränktheit anwenden. Dazu müsst ich zeigen dass $\begin{eqnarray*} sup_{n} ||T_n(f(x))|| < \infty \end{eqnarray*}$ oder?

Wie mache ich das denn? und wie gehe ich das weiter?

06.12.2016, 21:56

Guppi12

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Hallo,

dein Ansatz ergibt leider garkeinen Sinn. $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ liegt in $\begin{eqnarray*} \mathbb K \end{eqnarray*}$ , also kann man $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ nicht in $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ einsetzen.

Es gibt hier grob zwei Möglichkeiten:

1) Betrachte für festes $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ die Folge der Auswertungsfunktionale $\begin{eqnarray*} (\delta_{T_nx})_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \delta_{T_nx}:X'\to\mathbb K, f\mapsto f(T_n(x)) \end{eqnarray*}$ . Versuche, nachzuweisen, dass die (von x abhängig) in $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gleichmäßig beschränkt sind.

2) Betrachte für festes $\begin{eqnarray*} f\in X' \end{eqnarray*}$ die Folge der Funktionale $\begin{eqnarray*} (f\circ T_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ und weise nach, dass die (abhängig von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ) in $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gleichmäßig beschränkt sind.

07.12.2016, 11:38

Yuhe

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Hmm unser Professor hat uns geraten zweimal das Prinzip der gleichmäßigen beschränktheit anzuwenden,..

und da gilt ja falls ||T(u)|| beschränkt dann ist auch ||T|| beschränkt, deswegen mein Ansatz. Kann ich das Prinzip denn irgendwie anders anwenden?

07.12.2016, 12:43

Guppi12

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Beide meine Ansätze laufen auf dieses Prinzip hinaus. Ich will mal ganz offen sein: das hättest du an der Formulierung der Ansätze eigentlich sehen müssen.

07.12.2016, 13:28

Yuhe

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Ja okay, wenn ich mir jetzt das zweite genauer überleg:

um das Prinzip anwenden zu können muss ich also zeigen dass $\begin{eqnarray*} ||f(T_nx)|| \end{eqnarray*}$ ist beschränkt und daher $\begin{eqnarray*} ||f(T_n)|| \end{eqnarray*}$ beschränkt ist.

Oder bin ich da ganz falsch auf der spur?

07.12.2016, 13:37

Guppi12

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Ne, ist schon richtig.

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07.12.2016, 13:49

Yuhe

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Willst du mir noch helfen wie ich das zeige?

07.12.2016, 13:54

Guppi12

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Ich denke es schadet nicht, wenn du da erstmal ein bisschen selbst drüber nachdenkst, wie man das zeigen könnte. Schließlich ist meine letzte Antwort nichtmal eine halbe Stunde her und ohne ausreichend eigene Beschäftigtigung lernst du es nicht.

07.12.2016, 14:09

Yuhe

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Ich stehe momentan leider einfach noch bei der Logik des Beweises an.. unglücklich

unglücklich

Ich will zeigen das $\begin{eqnarray*} ||T_n|| \end{eqnarray*}$ beschränkt ist und um das Prinzip anwenden zu können müsste ich haben, dass $\begin{eqnarray*} ||T_nx|| \end{eqnarray*}$ beschränkt ist.

Wie und wo baue ich das $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ jetzt ein?

07.12.2016, 14:16

Guppi12

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Das direkt zu zeigen geht eben nicht, deswegen auch der Hinweis des Profs, dass man dafür zwei Schritte braucht. Glaub mir doch einfach mal, dass beide Ansätze von mir ein möglicher erster Schritt sind, um das zu zeigen und versuche erstmal, meinen Tipp zu beweisen. Deswegen geb ich dir doch den Tipp: weil du das selbst nicht gesehen hast. Aber dass ich dir jetzt gleich die komplette Aufgabe löse, nur weil du diesen einen Zwischenschritt noch nicht einordnen kannst, ergibt doch überhaupt keinen Sinn. Dann hättest du nicht nur diesen Zwischenschritt nicht gesehen, sondern bei der Aufgabe gleich überhaupt nichts mehr gelernt. Jetzt setze dich doch erstmal ein wenig mit dem Tipp auseinander bevor du nach weiteren Tipps fragst.

08.12.2016, 11:30

Yuhe

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Kann ich nicht einfach sagen:

Betrachte $\begin{eqnarray*} T_n(x) \in X'' \end{eqnarray*}$
Sei $\begin{eqnarray*} K_n(f)=f(T_n(x)) \end{eqnarray*}$
Für alle f in X' ist die Menge $\begin{eqnarray*} {\{||f(T_n(x))||:n \in N}\} \end{eqnarray*}$ beschränkt, da f beschränkt und die Operatoren auch beschränkt sind.

Dann mit dem Prinzip der gleichmäßigen beschränktheit ist auch die Menge $\begin{eqnarray*} {\{||T_n(x))||:n \in N}\} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} J: X \to X'' \end{eqnarray*}$ ist eine Isometrie und $\begin{eqnarray*} K_n = J(T_n(x)) \end{eqnarray*}$ und daher die Menge $\begin{eqnarray*} {\{||Tnx||: n \in N}\} \end{eqnarray*}$ beschränkt.

Und dann wiederr mit dem Prinzip ist die Menge $\begin{eqnarray*} {\{||Tn||: n \in N}\} \end{eqnarray*}$ beschränkt.

08.12.2016, 11:48

Guppi12

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Ja das kannst du sagen. Das ist genau Ansatz 1) nur dass du $\begin{eqnarray*} \delta_{T_n(x)} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} K_n \end{eqnarray*}$ umbenannt hast.

Allerdings ist die Begründung der Beschränktheit der Mengen $\begin{eqnarray*} {\{|f(T_n(x))|:n \in N}\} \end{eqnarray*}$ nicht richtig. Du brauchst ja eine Beschränkung unabhängig von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und die folgt nicht aus deinem Argument.

08.12.2016, 15:27

Yuhe

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Okay perfekt vielen Dank!!

Hmm okay, wieso denn nicht?

08.12.2016, 15:36

Guppi12

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Es könnte doch zum Beispiel sein, dass $\begin{eqnarray*} X=\mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} T_n(x) = nx \end{eqnarray*}$ . Dann ist jedes der $\begin{eqnarray*} T_n \end{eqnarray*}$ beschränkt aber $\begin{eqnarray*} \{T_n(x):~n\in\mathbb N\} \end{eqnarray*}$ ist für festes $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ doch nicht beschränkt und das brauchst du hier. Natürlich konvergiert $\begin{eqnarray*} T_n(x) \end{eqnarray*}$ auch nicht, aber das hast du ja oben auch garnicht benutzt.

08.12.2016, 17:07

Yuhe

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Puuh da hast du recht.. Wie bekomme ich denn sonst die Beschränktheit her?

08.12.2016, 17:52

Guppi12

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Versuch doch mal, die Konvergenzvoraussetzung dafür zu benutzen. Konvergente Folgen sind ...

09.12.2016, 10:46

Yuhe

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Hmm ja jede knovergente Folge ist beschränkt! Hmm das reicht also dafür?

09.12.2016, 10:51

Guppi12

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Ich verstehe die Frage nicht. Sind konvergente Folgen nun immer beschränkt oder nicht? Die Antwort darauf ist die gleiche, wie die Antwort, ob das reicht oder nicht.

09.12.2016, 11:06

Yuhe

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Jap, sind immer beschränkt! Okay, also danke vielmals smile

smile

09.12.2016, 11:35

Yuhe

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Ich habe da noch einen Unterpunkt wo ich hänge:
Sei $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ein Banachraum und $\begin{eqnarray*} M:A' \to A' \end{eqnarray*}$

Man soll zeigen, dass $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ beschränkt ist. Dafür muss ich ja zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} ||Mf||_{A'} \leq K||f||_{A'} \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} K \geq 0 \end{eqnarray*}$ ,

und $\begin{eqnarray*} ||f||_{A'}=sup\{||f(a)||_A:||a||_A \leq 1\} \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} ||Mf||_{A'}= sup\{lim_{n \to \infty} ||f(T_na)||_A:||a||_A \leq 1\} \end{eqnarray*}$

Wie komme ich da zu dieser Ungleichung?

Darf ich $\begin{eqnarray*} sup\{lim_{n \to \infty}||f(T_na)||_A:||a||_A \leq 1\} \leq sup\{||f|| lim T_n ||a|||\} \end{eqnarray*}$ sagen?

09.12.2016, 11:41

Guppi12

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Was ist denn $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ? Du hast doch sicherlich eine Definition dafür.

09.12.2016, 11:56

Yuhe

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Wie was es ist? Ein Operator zwischen den Dualräumen?

09.12.2016, 16:50

Guppi12

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Naja, du wirst doch irgendwelche Informationen über $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ haben, andernfalls wirst du kaum dessen Beschränktheit nachweisen können. Es ist schließlich nicht jeder Operator zwischen Dualräumen beschränkt.

10.12.2016, 10:55

Yuhe

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Achso sorry, ja klar die Definition ist einfach

$\begin{eqnarray*} (Mf)(x) = lim_{n \to \infty} f(T_nx) \end{eqnarray*}$

und die $\begin{eqnarray*} T_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ sind wie im obrigen Beispiel!

10.12.2016, 12:28

Guppi12

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Ich würde mich bei sowas nicht von den Suprema abschrecken lassen, die machen es unnötig kompliziert.

Nimm dir einfach festes $\begin{eqnarray*} f\in A' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ her und versuche damit $\begin{eqnarray*} |Mf(x)| \end{eqnarray*}$ abzuschätzen. Erhalte damit sukzessive zuerst eine Abschätzung an $\begin{eqnarray*} \|Mf\| \end{eqnarray*}$ und damit dann an $\begin{eqnarray*} \|M\| \end{eqnarray*}$ .

10.12.2016, 12:58

Yuhe

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Wieso muss ich $\begin{eqnarray*} |Mf(x)| \end{eqnarray*}$ abschätzen?

Ich muss ja zeigen: $\begin{eqnarray*} ||Mf||_{A'} \leq K||f||_{A'} \end{eqnarray*}$

Also habe ich $\begin{eqnarray*} ||Mf||_{A'} = ||lim_{n \to \infty} f (T_nx)||_{A'} = lim_{n \to \infty} || f (T_nx)||_{A'} \leq ||f||_{A'} ||x||_{A'} lim_{n \to \infty} ||T_n||_{A'} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} lim_{n \to \infty} ||T_n||_{A'} \end{eqnarray*}$ ist ja beschränkt laut dem vorhergehenden Beispiel. Aber ob $\begin{eqnarray*} ||x|| \end{eqnarray*}$ beschränkt ist weiß ich ja nicht oder?

Ansonsten hätte ich eine Schranke für $\begin{eqnarray*} ||M|| \end{eqnarray*}$ ja gefunden?

10.12.2016, 13:18

Guppi12

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Zitat:

Also habe ich $\begin{eqnarray*} ||Mf||_{A'} = ||lim_{n \to \infty} f (T_nx)||_{A'} = lim_{n \to \infty} || f (T_nx)||_{A'} \leq ||f||_{A'} ||x||_{A'} lim_{n \to \infty} ||T_n||_{A'} \end{eqnarray*}$

Die erste Gleichung ist falsch. Wo kommt das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auf einmal her? Das ist weder eingeführt noch wäre es möglich, das einzuführen. So ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , das diese Eigenschaft hat, muss es nicht geben.

Genau aus diesem Grund schätzt man erstmal für allgemeines $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ den Ausdruck $\begin{eqnarray*} |Mf(x)| \end{eqnarray*}$ ab.

10.12.2016, 13:28

Yuhe

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Hmm okay aber dann $\begin{eqnarray*} |Mf(x)| = |lim_{n \to \infty} f (T_nx)| = lim_{n \to \infty} | f (T_nx)| \leq ||f|| ||x|| lim_{n \to \infty} ||T_n|| \end{eqnarray*}$

wo setzte ich das dann ein?

10.12.2016, 13:35

Guppi12

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Erstmal ein Latex-Tipp: statt || verwende besser \| damit sieht der letzte Ausdruck in deiner Abschätzung dann gleich viel lesbarer aus: $\begin{eqnarray*} \|f\| \|x\| \lim_{n \to \infty} \|T_n\| \end{eqnarray*}$ .

Du kannst auf diese Weise nicht abschätzen, weil $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \|T_n\| \end{eqnarray*}$ nicht existieren muss. Du kannst ihn an dieser Stelle durch $\begin{eqnarray*} \liminf \end{eqnarray*}$ oder auch einfach $\begin{eqnarray*} \sup \end{eqnarray*}$ ersetzen, das ist hier egal.

Da diese Abschätzung für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gilt, folgt daraus für festes $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} \|Mf\| \leq \|f\|\sup\|T_n\| \end{eqnarray*}$ .

10.12.2016, 13:51

Yuhe

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Ah perfekt danke danke!!

Ich hätte jetzt noch eine verständnisfrage: Wenn steht "T is an operator on X" muss der dann von X nach X abbilden? oder könnte auch $\begin{eqnarray*} T:X' \to X' \end{eqnarray*}$ sein?

10.12.2016, 14:10

Guppi12

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Das heißt $\begin{eqnarray*} T:X\to X \end{eqnarray*}$ . Manche nennen auch Abbildungen Operatoren auf $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , die nur auf einem Teilraum von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ definiert sind, wenn das aber bei nirgendwo als Konvention steht, würde ich nicht davon ausgehen.

10.12.2016, 14:14

Yuhe

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Okay, vielen Dank!

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