Kombinatorik: Sitzanordungsprobleme

07.12.2016, 11:04	MaxMatheKS	Auf diesen Beitrag antworten »
Kombinatorik: Sitzanordungsprobleme Meine Frage: Folgende Fragen wurden im Rahmen einer Übung gestellt: Nach einer Vorlesung gehen 20 Studierende gemeinsam in die Mensa. Acht von ihnen wählen Essen 1, sechs wählen Essen 2, vier wählen Essen 3 und zwei wählen Essen 4. Sie finden einen Tisch, an den sie sich in zwei einander gegenübersitzenden Zehnerreihen setzen können. a) In wie vielen verschiedenen Sitzordnungen können sich die Studierenden setzen? b) In wie vielen dieser Sitzordnungen sitzen alle acht Studierenden mit Essen 1 nebeneinander? c) Wie viele Sitzordnungen gibt es, in denen in den beiden Zehnerreihen jeweils zwei Studierenden mit Essen 3 sitzen? d) Wie viele Sitzordnungen gibt es, in denen die zwei Studierenden mit Essen 4 weder nebeneinander noch gegenüber sitzen? e) Wie viele Sitzordnungen gibt es, in denen jeder Studierende mit Essen 3 oder 4 einem Studierenden mit Essen 2 gegenübersitzt? Meine Ideen: a) Permutation ohne Wiederholung: Mehrere versch. Elemente (20) werden auf genauso vielen Plätzen angeordnet, alle 20 Plätze werden besetzt. ==> 20! b) Permutation mit Wiederholung: Es gibt je 10er-Reihe jeweils 3 Möglichkeiten, wie die acht Studierenden mit Essen 1 nebeneinander sitzen können, d.h. es gibt für zwei 10er-Reihen 23=6 Möglichkeiten, wie sich die acht Studierenden setzen können. Dazu kommen dann noch die 12! Möglichkeiten, wie sich die übrigen Studierenden setzen können. ==> 23*12! Sitzordnungen c) - e) bislang nur rudimentäre Ansätze. Bitte um Hilfe. Ist dies korrekt? Beste Grüße Max
07.12.2016, 11:26	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei b) fehlen noch die Permutationsmöglichkeiten der 8 Essen1-Studierenden untereinander (!). Es sind also insgesamt $\begin{align} 2\cdot 3\cdot 8!\cdot 12! \end{align}$ Möglichkeiten. c) Betrachten wir die erste Zehnerreihe, dann gibt es folgende Auswahlmöglichkeiten zu beachten 2 aus 4 für die Essen3-Studierenden 8 aus 16 für die Nicht-Essen3-Studierenden Und dann gibt es noch die Anordnungsmöglichkeiten in jeder der beiden Zehnerreihen. d) Gehe über das Komplement, d.h., bestimme zunächst die Sitzordnungen, wo die beiden nebeneinander oder gegenüber sitzen. e) Man kann zunächst 6 aus 10 Sitzpaaren auswählen, wo diese Anordnungen Essen2 - Essen3/4 vorkommen sollen. Dann hat man jeweils 6! Möglichkeiten, die Essen2-Teilnehmer bzw. die Essen3/4-Teilnehmer diesen 6 Paarplätzen zuzuordnen, und schließlich noch pro Paarplatz zwei Möglichkeiten der Vertauschung. Schließlich und endlich muss man noch die 8! Permutationen der 8 Essen1-Teilnehmer auf den bereits festgelegten Plätzen berücksichtigen.
08.12.2016, 21:14	MaxMatheKS	Auf diesen Beitrag antworten »
zu c) (10ü2) * 2! * (4ü2) * 4! * 2! * 16! zu d) 20! - [10 * 2! +18] zu e) (10 * (12!)) *2! e) ist nicht allzu trivial.... Anmerkungen?

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