Ohne Taschenrechner rechnen

07.12.2016, 20:07

Pasghetti

Ohne Taschenrechner rechnen

Meine Frage:
Hallo zusammen. Ich muss für mein Chemiestudium nun lernen, bestimmte Rechnungen ohne Taschenrechner zu rechnen. Allerdings bin ich da ziemlich unbegabt. Könnt ihr mir sagen, wie ich folgende Aufgaben am besten im Kopf berechne? Gibt es da Regeln zu?

10^-9,7/0,02 (raus kommen soll da 10^-8)

und

(2,27 * 10^-9)³

Ich wäre euch für eure Hilfe sehr dankbar.

Meine Ideen:
Ich habe da leider keinen Ansatzpunkt unglücklich

07.12.2016, 21:38

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben schon vor 30 Jahren gesagt, dass Taschenrechner nicht in die Hände von Schülern gehören. Tut mir leid, die verfehlte Bildungspolitik musst Du jetzt ausbaden. Mach dir nichts daraus, Du bist nicht alleine unfähig, im Kopf zu rechnen.

07.12.2016, 22:00

willyengland

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} (2,27 * 10^{-9})^3 \end{eqnarray*}$

ist ungefähr $\begin{eqnarray*} 2^3 *10^{-27} \end{eqnarray*}$ ist ungefähr $\begin{eqnarray*} 10*10^{-27} \end{eqnarray*}$ ist ungefähr $\begin{eqnarray*} 10^{-26} \end{eqnarray*}$ .

08.12.2016, 15:31

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

Außerdem "weiß" man z.B. $\begin{align*} 10^{0,3} \approx 2 \end{align*}$ , was einem bei $\begin{align*} 10^{-9,7} = 10^{-10} \cdot 10^{0,3} \end{align*}$ weiterhilft.

Viele Grüße
Steffen

08.12.2016, 17:38

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Außerdem "weiß" man z.B. $\begin{align*} 10^{0,3010} = 2 \end{align*}$

die Logarithmen kannte man früher 4-stellig im Kopf geschockt

08.12.2016, 18:32

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt genau. Im Alter von 15 Jahre hat Carl Friedrich G. umfangreiche Logarithmentafeln und Primzahltabellen auswendig gelernt (und selbstverständlich darin enthaltene Fehler korrigiert). Nachdem er die Primzahlen kleiner als eine Million berechnet hat, konnte er 1793 den Primzahlsatz $\begin{eqnarray*} \pi(x) \sim \frac x {ln(x)} \end{eqnarray*}$ vermuten (allerdings noch nicht beweisen).

08.12.2016, 18:48

Winston Smith

Auf diesen Beitrag antworten »

Im allgemeinen kann man sowas nachvollziehen, wenn man nach xyz schriftlich ausrechnen sucht. Wenn man das einige male macht, kommt man oft hinter die Systematik und kann sie evtl. im Kopf anwenden.

Ich kann als allgemeine HIlfestellung sagen,
das man "Komma-Zahlen" immer besser als als Brüche rechnet.
z.b.
$\begin{eqnarray*} 9.7/0.02 \end{eqnarray*}$

ist auch

$\begin{eqnarray*} 9.7\quad :\quad 0.02\quad =\frac { \frac { 97 }{ 10 } }{ \frac { 2 }{ 100 } } =\frac { 97 }{ 10 } *\frac { 100 }{ 2 } =\frac { 9700 }{ 20 } =485 \end{eqnarray*}$

Deine erste Aufgabe kann man missverstehen, weil ich jetzt nich weiß, ob der Bruch im Exponenten steht oder nicht.

Bei den Zehnern mit exponennten gilt:
$\begin{eqnarray*} { 10 }^{ -5 }=\frac { 1 }{ 100000 } \end{eqnarray*}$

man kann so zumindest Schriftlich Lösungen finden. Im Kopf bedarf das eine Menge Übung denke ich.

Bei mir im Studium war gefordert, das wir im Kopf zumindest das alles mal überschlagen und die zu erwartende Größe ungefähr vorab bestimmen können. Da muss man wissen, was man wo aufrunden kann und was man vernachlässigen kann.

Schriftlich:
$\begin{eqnarray*} (2,27*10^{ -9 })^{ 3 }=\left( \frac { 227 }{ 100 } \right) ^{ 3 }*{ 10 }^{ -9*3 }=\frac { 11697083 }{ 1000000 } *{ 10 }^{ -27 }=11.697083*{ 10 }^{ -27 }=11697083*{ 10 }^{ -21 }\approx 1.17*{ 10 }^{ -26 } \end{eqnarray*}$

08.12.2016, 20:08

Pasghetti

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich danke euch vielmals für die zahlreichen Antworten smile

! So langsam taste ich mich ans Kopfrechnen heran und es macht sogar Spaß die ganzen Regeln zu lernen und anzuwenden Big Laugh

.

Ich werde eure Antworten erst am Wochenende nachvollziehen können, aber wie gesagt, schonmal danke an euch!

12.12.2016, 23:28

cfk

Auf diesen Beitrag antworten »

sparsames Auswendiglernen

Zitat:

Original von Dopap

Zitat:

Außerdem "weiß" man z.B. $\begin{align*} 10^{0,3010} = 2 \end{align*}$

[Math Processing Error]
die Logarithmen kannte man früher 4-stellig im Kopf geschockt

Gerade auf den Zehnerlogarithmus von 2 konnte ich bei der konkreten Aufgabe in der Weiterbehandlung von $\begin{eqnarray*} 10^{-9,7} = 10^{-10} \cdot 10^{0,3} \end{eqnarray*}$ verzichten, weil mir eine (z. B. von Speicherplatzumrechnungen her auswendig bekannte) Näherung (für 2 kilo-): $\begin{eqnarray*} 2^{10} \approx 10^{3} \end{eqnarray*}$ weiter geholfen hat:
$\begin{eqnarray*} 10^{0,3} = 10^{\frac{3}{10}} = (10^{3})^{\frac{1}{10}} \approx 1024^{\frac{1}{10}} = 2. \end{eqnarray*}$

Die 0,3010 weiß ich seit heute aber auch smile

, dank(e) Dopap.
Reicht es, wenn ich mir für den Anfang zusätzlich
lb 3 = 0,477
lb 5 = 0,7
lb 7 = 0,845
merke? Die relativen Rundungsfehler liegen dabei unter 0,15 Promille.

----------------
Gut zum Thema fand ich auch die ersten 117 (html-) Zeilen von
arne-lueker.de/Objects/projects/Logarithmen/Logarithmen.html

18.12.2016, 16:37

cfk

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: sparsames Auswendiglernen

Zitat:

Original von cfk
Reicht es, wenn ich mir für den Anfang zusätzlich
lb 3 = 0,477
lb 5 = 0,7
lb 7 = 0,845
merke? Die relativen Rundungsfehler liegen dabei unter 0,15 Promille.

Hoppla. Wenn ich den Zehnerlogarithmus von 2 schon weiß, muss ich den Zehnerlogarithmus von 5 nicht noch hinzulernen. Da bleibt mir mehr Speicherplatz für die anderen. Wenn ich die Anzahl der auswendig gelernten Stellen um eine auf fünf erhöhe, erhöht sich die Genauigkeit von knapp 0,0001 (für 0,3010) auf unter das 0,000000015-fache, um das sich 0,30103 und der wahre Wert von log 2 unterscheiden.

Als nächste näherungsweise Gleichheit von Vielfachen von Potenzen ist mir erst die "ziemlich hohe" $\begin{eqnarray*} 6^{5}\cdot 2 = 5^{6} \end{eqnarray*}$ aufgefallen, aber die ergibt $\begin{eqnarray*} \log_{10}3 > 0,4775 \end{eqnarray*}$ , was eine Ungenauigkeit von fast einem Promille ergibt. Auswendiglernen von $\begin{eqnarray*} \log_{10}3 \end{eqnarray*}$ = 0,4771 ist da schon deutlich genauer.

Neue Frage »

Antworten »

Ohne Taschenrechner rechnen

Verwandte Themen