Schwache Konvergenz gegen das Lebesguemaß

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08.12.2016, 10:17	lissy1234567	Auf diesen Beitrag antworten »
Schwache Konvergenz gegen das Lebesguemaß Meine Frage: Hallo, Folgende Frage zu einer Übung, die ich gerne machen würde. Wir haben die Folge $\begin{eqnarray} \mu_{n} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n} \lambda _{i/n} \end{eqnarray}$ gegeben in P([0,1]). Zu Zeigen ist, dass diese Folge schwach gegen das Lebesguemaß auf [0,1] konvergiert. Meine Ideen: Ich habe schon ähnliche Aufgaben mit Tipps gefunden, allerdings hilft mir das gar nicht weiter. Könnte mir jemand helfen Grüße, Lissy
08.12.2016, 10:20	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwache Konvergenz gegen das Lebesguemaß Sind $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ Dirac-Maße, oder wie ist das zu verstehen?
08.12.2016, 10:21	lissy1234567	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwache Konvergenz gegen das Lebesguemaß Ja, leider bin ich in Latex nicht so gut, daher konnt ich das nicht schreiben..
08.12.2016, 10:36	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwache Konvergenz gegen das Lebesguemaß \delta ist das Symbol für das Dirac-Maß. Schreibe dir doch die Definition von schwacher Konverenz auf, damit du weißt was du zeigen musst.
08.12.2016, 10:40	lissy1234567	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwache Konvergenz gegen das Lebesguemaß Ich muss zeigen, dass die Folge für n gegen unendlich gegen das Lebesguemaß geht. Dabei bereitet mir der Umgang mit dem Dirac-Maß sorgen. Ich habe diese Definiton bereits aufgeschrieben, aber kann es nicht wirklich berechnen, weil ich den Umgang damit sehr schwer finde.
08.12.2016, 10:43	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwache Konvergenz gegen das Lebesguemaß Was heißt es denn konkret für eine Folge von Maßen schwach gegen ein anderes zu konvergieren. Das ist eine Definition, und ohne die konkret vor dir zu haben wirst du die Aussage nicht zeigen können. (Tipp: Es sollten stetige Funktionen auftauchen.)
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08.12.2016, 10:49	lissy1234567	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwache Konvergenz gegen das Lebesguemaß Naja, ich will diese Definition verwenden... https://de.wikipedia.org/wiki/Schwache_Konvergenz_(Ma%C3%9Ftheorie)
08.12.2016, 10:52	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwache Konvergenz gegen das Lebesguemaß Also. Sei $\begin{eqnarray} f \in C^0([0,1]) \end{eqnarray}$ fest. Jetzt willst du zeigen, dass $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty}\int_0^1 f d \mu_n = \int_0^1f d \lambda \end{eqnarray}$ , wobei ich rechts klassisch $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ als das Lebesgue-Maß definiert habe. Du musst also erst einmal $\begin{eqnarray} \int_0^1 f d \mu_n \end{eqnarray}$ ausrechnen, also die Definition von $\begin{eqnarray} \mu_n \end{eqnarray}$ benutzen.
08.12.2016, 11:04	lissy1234567	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwache Konvergenz gegen das Lebesguemaß Ja, und genau diese Integration ist dann das Problem, wenn ich da im Integral Summe und Diracmaß stehen hab
08.12.2016, 11:06	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwache Konvergenz gegen das Lebesguemaß Es ist ja einfach definiert $\begin{eqnarray} \int_0^1 f d\delta_{x_0} = f(x_0) \end{eqnarray}$ . Also ist $\begin{eqnarray} \int_0^1 f d \mu_n = \frac 1 n \sum_{i = 1}^n \int_0^1 f d \delta_{i/n} = \ldots \end{eqnarray}$ .
08.12.2016, 11:08	lissy1234567	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwache Konvergenz gegen das Lebesguemaß $\begin{eqnarray} = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} f(\frac{i}{n}) \end{eqnarray}$ ?
08.12.2016, 11:11	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwache Konvergenz gegen das Lebesguemaß Genau. Nun ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ stetig, also ist das Lebesgue-Integral einfach das Riemann-Integral. Und da gab es doch ein paar Aussagen über Treppenfunktionen, und das Integral als Limes von solchen.
08.12.2016, 11:15	lissy1234567	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwache Konvergenz gegen das Lebesguemaß $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \sum\limits_{i=1}^{n} f(i/n) = \int_{0}^{1} \! f(x) \, dx \end{eqnarray}$ ?
08.12.2016, 11:22	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwache Konvergenz gegen das Lebesguemaß Da fehlt das $\begin{eqnarray} \frac 1 n \end{eqnarray}$ davor. Aber ja, das gilt dann. Wenn man will kann man die Treppenfunktion $\begin{eqnarray} \varphi_n(x) = \sum_{i=1}^n f(\frac i n) \chi_{(\frac i n, \frac { i+1}n)} \end{eqnarray}$ definieren und benutzen, dass das Integral aller `feinen' Treppenfunktionen (nicht nur Ober- und Untersummen) gegen das Integral von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ konvergiert. Und damit hast du die Aussage der schwachen Konvergenz bereits gezeigt.
08.12.2016, 17:25	lissy1234567	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwache Konvergenz gegen das Lebesguemaß Okay, super danke !!

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