Bedingung für Gleichgewicht einer Dgl

08.12.2016, 19:11	F14	Auf diesen Beitrag antworten »
Bedingung für Gleichgewicht einer Dgl Meine Frage: Hallo! Ein Gleichgewichtspunkt x* einer Dgl $\begin{eqnarray} x'(t) = f(x,t) \end{eqnarray}$ haben wir so definiert, dass jede Lösung x(t) mit Anfangswertbedingung $\begin{eqnarray} x(t0) = x \end{eqnarray}$ überall konstant = x ist. Jetzt benutzen wir aber meistens, dass x* dann ein Gleichgewicht der zugehörigen Dgl ist, wenn für alle t $\begin{eqnarray} f(x,t) = 0 \end{eqnarray}$ ist. Meine Ideen:* Das ist mir nicht klar. Nur weil auf der Geraden (x*,t) jede Lösung Steigung 0 hat, gilt das doch nicht überall. Wenn z.B x(t) = t^3 eine Lösung einer Dgl ist, mit Awbed. x(0)=0, so hat sie ja zwar in t=0 Steigung 0, sonst aber nicht. Auch jede andere Lösung y(t) = (t-a)^3 zur Awbed. y(a) = 0 ist zwar für t=0 waagrecht, sonst aber nicht. Also gilt f(t,0) = 0 für alle t, obwohl 0 gar kein Gleichgewicht der zugehörigen Lösungen ist. Wo ist mein Denkfehler?
08.12.2016, 21:28	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Funktion $\begin{eqnarray} x(t)=t^3 \end{eqnarray}$ ist Lösung der DGL $\begin{eqnarray} x'(t)=3t^2=: f(x,t) \end{eqnarray}$ . Und für dieses $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ gilt eben nicht $\begin{eqnarray} f(0,t)=0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ . ( $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ hängt gar nicht von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ab). Wenn $\begin{eqnarray} f(x^,t)=0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ gilt, dann ist die konstante Funktion $\begin{eqnarray} x(t)=x^* \end{eqnarray}$ Lösung der DGL $\begin{eqnarray} x'(t)=f(x,t) \end{eqnarray}$ mit der Anfangsbegingung $\begin{eqnarray} x(t_0)=x^* \end{eqnarray*}$ . Das kannst du durch einfaches Einsetzen überprüfen.
08.12.2016, 22:00	F14	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hatte die Aussage f(x*,t)=0 völlig falsch verstanden. Danke für die Antwort!

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