Stetige Funktionen auf Intervallen

08.12.2016, 23:02

bhmth

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Stetige Funktionen auf Intervallen

Meine Frage:
Hallo ich sitze schon seit einer ganzen Weile an folgender Aufgabe:

Sei I ein Intervall in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , das mehr als einen Punkt enthaelt und seien f : I -> $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ und g : I -> $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ stetige Funktionen.
Fuer alle x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ I $\begin{eqnarray*} \cap \mathbb Q \end{eqnarray*}$ sei f(x) = g(x).

Beweise Sie, dass f(x) = g(x) fuer alle x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ I gilt

Meine Ideen:
Da $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ja dicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ liegt gibt es eine Folge $\begin{eqnarray*} (x_n) \in \end{eqnarray*}$ I $\begin{eqnarray*} \cap \mathbb Q \end{eqnarray*}$ die gegen x $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Fuer alle Folgenglieder gilt ja f(x) = g(x) jetz muesste man es auch fuer den Limes von $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ beweisen, leider fehlt mir hier jeglicher Ansatz.

09.12.2016, 01:15

Guppi12

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Hallo bhmth,

was besagt denn die Stetigkeit der Funktionen $\begin{eqnarray*} f,g \end{eqnarray*}$ hinsichtlich der beiden Folgen $\begin{eqnarray*} (f(x_n))_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (g(x_n))_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ ?

09.12.2016, 19:27

bhmth

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Hallo Guppi,

Vielen Dank fuer deine Antwort.

Die Stetigkeit der beiden Funktionen $\begin{eqnarray*} f,g \end{eqnarray*}$ besagt. Da $\begin{eqnarray*} (f(x_n))_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (g(x_n))_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ ja nur aus rationalen Zahlen besteht gilt $\begin{eqnarray*} (f(x_n)) = (g(x_n)) \end{eqnarray*}$ . Demnach muessen die Folgen $\begin{eqnarray*} (f(x_n))_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (g(x_n))_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ auch beide gegen $\begin{eqnarray*} (f(x)) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} (g(x)) \end{eqnarray*}$ konvergieren und $\begin{eqnarray*} (f(x)) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} (g(x)) \end{eqnarray*}$ .

09.12.2016, 19:29

Guppi12

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Zitat:

Demnach muessen die Folgen $\begin{eqnarray*} (f(x_n))_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (g(x_n))_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ auch beide gegen $\begin{eqnarray*} (f(x)) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} (g(x)) \end{eqnarray*}$ konvergieren

worauf bezieht sich das "demnach" genau? Liegt das daran, dass $\begin{eqnarray*} f(x_n) = g(x_n) \end{eqnarray*}$ für alle n oder liegt das an der Stetigkeit?

09.12.2016, 19:46

bhmth

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Wenn die die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig ist dann konvergiet eine Folge $\begin{eqnarray*} (f(x_n))_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} f(x_n) \end{eqnarray*}$ und das ist wegen der Steigkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ so. Wenn ich es richtig verstanden habe

09.12.2016, 19:54

Guppi12

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Ja richtig, aber es ist "die" Folge, nicht "eine". Schließlich ist das ja eine konkrete Folge.

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09.12.2016, 20:10

bhmth

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ok sagen wir es gibt die Folge $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ die gegen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ konvergiert. Da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig ist konvergiert $\begin{eqnarray*} (f(x_n))_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ auch gegen $\begin{eqnarray*} (f(x)) \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} (x_n) \in I \cap \mathbb Q \end{eqnarray*}$ gilt auch $\begin{eqnarray*} (f(x_n))_{n\in\mathbb N} = (g(x_n))_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ . Die Grenzwerte $\begin{eqnarray*} (f(x)) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (g(x)) \end{eqnarray*}$ sind aufgrund der Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} f,g \end{eqnarray*}$ ja gegeben, aber wie komme ich hier jetzt weiter ?

09.12.2016, 20:43

Guppi12

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Naja, du hast eine Folge $\begin{eqnarray*} (f(x_n))_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ , die einerseits gegen $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ konvergiert, andererseits aber auch gegen $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ konvergiert, was sagt uns das? Kann eine Folge mehrere verschiedene Grenzwerte haben?

09.12.2016, 20:52

bhmth

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Nein der Grenzwert ist eindeutig

09.12.2016, 21:19

Guppi12

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Genau. Hat sich deine Frage damit geklärt?

09.12.2016, 21:27

bhmth

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hmm um es mal so auszudruecken ich fuehle mich etwas schlauer aber immer noch dumm Hammer

Hammer

Wenn ich mal kurz zusammenfasse:

$\begin{eqnarray*} f,g \end{eqnarray*}$ sind stetige Funktionen
$\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ ist eine Folge rationaler Zahlen mit Grenzwert $\begin{eqnarray*} (x) \in\mathbb R \end{eqnarray*}$
da $\begin{eqnarray*} f,g \end{eqnarray*}$ stetig sind gilt auch $\begin{eqnarray*} (f(x_n))_{n\in\mathbb N} = (g(x_n))_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$
und da der Grenzwert einer Folge eindeutig ist gilt $\begin{eqnarray*} (f(x)) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} (g(x)) \end{eqnarray*}$
da der Grenzwert $\begin{eqnarray*} x \in\mathbb R \end{eqnarray*}$ sind auch $\begin{eqnarray*} (f(x)) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (g(x)) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in\mathbb R \end{eqnarray*}$
Folgt daraus nun das es fuer alle $\begin{eqnarray*} x \in\ I \end{eqnarray*}$ gilt?

09.12.2016, 21:38

Guppi12

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Diese Zeile

Zitat:

da der Grenzwert $\begin{eqnarray*} x \in\mathbb R \end{eqnarray*}$ sind auch $\begin{eqnarray*} (f(x)) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (g(x)) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in\mathbb R \end{eqnarray*}$

ist nicht so sinnvoll. Das musst du nicht erwähnen.

Nach dieser Zeile hier solltest du erstmal erwähnen warum und wogegen die jeweiligen Folgen konvergieren:

Zitat:

da $\begin{eqnarray*} f,g \end{eqnarray*}$ stetig sind gilt auch $\begin{eqnarray*} (f(x_n))_{n\in\mathbb N} = (g(x_n))_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$

09.12.2016, 21:53

bhmth

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Also
$\begin{eqnarray*} (f(x_n))_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ konvergiert wegen der Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ gegen den Grenzwert $\begin{eqnarray*} (f(x)) \end{eqnarray*}$ analog dazu konvergiert $\begin{eqnarray*} (g(x_n))_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ gegen den Grenzwert $\begin{eqnarray*} (g(x)) \end{eqnarray*}$ .

10.12.2016, 13:28

bhmth

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Vielleicht habe ich mich falsch ausgedrueckt...
es ist schon klar das Aufgrund der Stetigkeit und der Vorraussetzung $\begin{eqnarray*} (f(x)) = (g(x)), x \in I \cap \mathbb Q \end{eqnarray*}$ es auch alle $\begin{eqnarray*} x \in I \end{eqnarray*}$ gelten muss, da ja auch in jeder $\begin{eqnarray*} U_\epsilon(x_0), \epsilon >0 , x_0 \in I \cap \mathbb R \end{eqnarray*}$ auch immer eine rationale Zahl liegt und wegen der Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} f,g \end{eqnarray*}$ muss auch gelten $\begin{eqnarray*} (f(x)) = (g(x)) \end{eqnarray*}$ fuer alle $\begin{eqnarray*} x \in I \end{eqnarray*}$ . Waere das nicht der Fall, dann muesste eine der beiden Funktionen an der betrachteten Stelle unstetig sein.

10.12.2016, 13:37

Guppi12

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Ja, also ich hatte an deiner letzten Zeile auch nichts mehr zu beanstanden. Aber damit ist deine Frage doch auch geklärt oder nicht?

10.12.2016, 13:50

bhmth

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Also haette ich es damit bewiesen ?

Entschuldige das ich so oft nachhake...ich bin da einfach noch recht unsicher und aus der Uebung ab wann etwas bewiesen ist...Vielen Dank fuer die wirklich gute Hilfe!

ich hatte jetzt noch die Idee es fuer einen formalen Beweis so aufzuschreiben:

Es exisitiert $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine Folge rationaler Zahlen mit Grenzwert $\begin{eqnarray*} (x) \in\mathbb R \end{eqnarray*}$ .
Aus der Voraussetzung folgt, dass $\begin{eqnarray*} (f(x_n))_{n\in\mathbb N} = (g(x_n))_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ .
Mit der Stetigkeit von von $\begin{eqnarray*} f,g \end{eqnarray*}$ folgt das $\begin{eqnarray*} (f(x_n))_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ konvergiert und $\begin{eqnarray*} (g(x_n))_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ .
Da der Grenzwert einer Folge Eindeutig ist folgt $\begin{eqnarray*} f(x)=g(x) \end{eqnarray*}$ .

Betrachten wir nun die Folge $\begin{eqnarray*} h(x)=f(x)-g(x) \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} f(x)=g(x) \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} h(x)=f(x)-g(x)=0 \end{eqnarray*}$ . Da die Differenz von zwei stetigen Funktionen wieder stetig ist gilt fuer alle $\begin{eqnarray*} x \in\mathbb I \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} h(x)=f(x)-g(x)=0 \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt $\begin{eqnarray*} f(x)=g(x) \end{eqnarray*}$ fuer alle $\begin{eqnarray*} x \in\mathbb I \end{eqnarray*}$ .

10.12.2016, 14:13

Guppi12

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Zitat:

Es exisitiert $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine Folge rationaler Zahlen mit Grenzwert $\begin{eqnarray*} (x) \in\mathbb R \end{eqnarray*}$ .

lass hier die Klammern um das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ weg, die gehören da nicht hin.

Zitat:

Da der Grenzwert einer Folge Eindeutig ist folgt $\begin{eqnarray*} f(x)=g(x) \end{eqnarray*}$ .

Warum machst du danach noch weiter. Du hast gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} f(x)=g(x) \end{eqnarray*}$ für beliebiges $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ also bist du fertig. Lass den Rest weg, dann ist der Beweis so ok.

10.12.2016, 14:19

bhmth

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ok vielen dank Freude

Freude

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