Lineare Unabhängigkeit

09.12.2016, 09:38

cagcel

Lineare Unabhängigkeit

Meine Frage:
wie kann ich dise aufgabe lösen?
bitte um Ansätze;-)

Sei K ein Körper und sei V ein K-Vektorraum und sei F ? End_K(V). Angenommen, es existiere ein n? ? mit F^n=0 als Abbildung und F^(n?1) ungleich 0. Beachten Sie, dass F^0:=id_V.

Zeigen Sie: Es gibt ein v?V, so dass folgendes System linear unabhängig ist:
(v,F(v),F^2(v),... ,F^(n?1)(v))= (F^k(v); 0? k ?n?1)

Meine Ideen:
ich Wähle ein v?V mit F^(n?1)(v)?0. Seien dann ?_0,...,?_(n?1) ?K mit ?_0v+?_ 1F(v)+...+?_(n?1) F^(n?1)(v)=0. ich möchte hieraus nun ?0,...,?n?1=0 folgern. ich weiß, dass ich Dafür den Endomorphismus F geeignet oft auf die obere Gleichung anwenden kann aber wie mach ich das?

^bedeutet oben geschrieben.
_ bedeutet unten geschrieben

09.12.2016, 09:59

Dopap

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RE: Lineare unabhägigkeit

Zitat:

Original von cagcel

^bedeutet oben geschrieben.
_ bedeutet unten geschrieben

genau wie bei Latex im Formeleditor !

aber die Fragezeichen stören ziemlich. Mal wieder copy+paste gemacht ohne nachher zu kontrollieren Ups

09.12.2016, 10:19

cagcel

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RE: Lineare unabhägigkeit
wie kann ich dise aufgabe lösen?
bitte um Ansätze;-)

Sei K ein Körper und sei V ein K-Vektorraum und sei F \in End_{K}(V). Angenommen, es existiere ein n \in \mathbb N mit F^{n} =0 als Abbildung und F^{n-1} \neq 0. Beachten Sie, dass F^{0} :=ida_{V} .

Zeigen Sie: Es gibt ein v\in V, so dass folgendes System linear unabhängig ist:
(v,F(v),F^{2}(v),... ,F^{n-1}(v))= (F^{k} (v); 0\leq k \leq n-1)

Meine Ideen:
ich Wähle ein $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} F^{n-1}(v)\neq 0 \end{eqnarray*}$ . Seien dann $\begin{eqnarray*} \lambda_{0} ,...\lambda_{n-1} \in K \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lambda_{0} v+\lambda_{0}F(v)+...+\lambda_{n-1} F^{n-1}(v)=0 \end{eqnarray*}$ . ich möchte hieraus nun $\begin{eqnarray*} \lambda_{0},...,\lambda_{n-1} =0 \end{eqnarray*}$ folgern. ich weiß, dass ich Dafür den Endomorphismus $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ geeignet oft auf die obere Gleichung anwenden kann aber wie mach ich das?

^bedeutet oben geschrieben.
_ bedeutet unten geschrieben

Edit IfindU: LaTeX Tags hinzugefuegt

09.12.2016, 11:43

Mulder

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RE: Lineare unabhägigkeit

Zitat:

Original von cagcel
$\begin{eqnarray*} \lambda_{0} v+\lambda_{\color{red}1\color{black}}F(v)+...+\lambda_{n-1} F^{n-1}(v)=0 \end{eqnarray*}$

Einfach mal anfangen. Wende zuerst auf beiden Seiten der Gleichung $\begin{eqnarray*} F^{n-1} \end{eqnarray*}$ an:

$\begin{eqnarray*} F^{n-1}( \lambda_{0} v+\lambda_{\color{red}1\color{black}}F(v)+...+\lambda_{n-1} F^{n-1}(v)) =F^{n-1}(0) \end{eqnarray*}$

Was $\begin{eqnarray*} F^{n-1}(0) \end{eqnarray*}$ ist, weißt du, da $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ linear ist.

Und auf der linken Seite der Gleichung nun auch alles nutzen, was dir die Linearität von $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ bietet. Sprich: Alles auseinanderziehen und gucken, was sich dann ergibt.

Du machst das hier nicht in einem Abwasch, sondern nach und nach für jedes $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ einzeln.

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