Ungleichung mit e als unterer und oberer Schranke

09.12.2016, 12:35

mathguy

Ungleichung mit e als unterer und oberer Schranke

Meine Frage:
Folgende Ungleichung soll ich zeigen:

$\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{n})^n<e<(1+\frac{1}{n})^{n+1} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Die linke Seite lässt sich so zeigen: Da ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{n})^n \end{eqnarray*}$ monton steigend ist und exp(1)=e als Grenzwert dieser Folge definiert ist, muss jedes Folgenglied kleiner sein.
Wie zeige ich nun aber die rechte Seite? Diese muss demnach monton fallend sein, aber das zu zeigen dauert etwas lange und endet in riesigen Termen... Gibt es da einen einfacheren Weg?

09.12.2016, 13:01

Matt Eagle

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RE: Ungleichung mit e als unterer und oberer Schranke
Du musst 'nur' zeigen, dass $\begin{eqnarray*} a_n:=\left(1+\frac 1n\right)^n \end{eqnarray*}$ monoton wächst und $\begin{eqnarray*} b_n:=\left(1+\frac 1n\right)^{n+1} \end{eqnarray*}$ monoton fällt.

Beides lässt sich mit Hilfe der Bernoullischen Ungleichung zeigen.

Wegen $\begin{eqnarray*} e:=\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n \end{eqnarray*}$ war's das dann schon.

09.12.2016, 13:09

mathguy

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Das weiß ich schon. Nur der Weg mit der Bernoulli Ungleichung ist viel zu lang. Ich darf voraussetzen, dass der linke Ausdruck monton steigt. Ich versuche gerade die ganze Zeit davon abzuleiten, dass der rechte Ausdruck monton fällt.

09.12.2016, 17:32

klarsoweit

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Zitat:

Original von mathguy
Nur der Weg mit der Bernoulli Ungleichung ist viel zu lang.

Wieso? Das paßt in eine Zeile:

$\begin{eqnarray*} \frac{(\frac{n+1}{n})^{(n+1)}}{(\frac{n+2}{n+1})^{(n+2)}} = \frac{n}{n+1} \cdot \frac{(\frac{n+1}{n})^{(n+2)}}{(\frac{n+2}{n+1})^{(n+2)}} = \frac{n}{n+1} \cdot \left( \frac{(n+1)^2}{n(n+2)} \right)^{(n+2)} = \frac{n}{n+1} \cdot \left(1 + \frac{1}{n(n+2)} \right)^{(n+2)} \geq \frac{n}{n+1} \cdot (1 + \frac{1}{n}) = 1 \end{eqnarray*}$

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