Hough-Transformation für Ellipsen

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Samsa Klaus Auf diesen Beitrag antworten »
Hough-Transformation für Ellipsen
Guten Abend!

Ich hab demnächst ein Referat zu halten. Während manche Kommilitonen Sinnestäuschungen vorführen konnten, habe ich das Glück, mich (als Nicht-Mathematiker) durch ein mathematisches Paper wühlen zu dürfen.
Naja, kann man jetzt auch nicht mehr ändern.

Das Thema ist die Hough-Transformation (falls jemand Interesse an dem zugehörigen Paper hat: der erste Google-Eintrag für ballard hough 1981). Ich hab mich immerhin schon durch die ersten vier Seiten gequält (seufz), aber bis dahin sind schon einige Verständnisfragen aufgekommen. Vielleicht kann mir hier jemand weiterhelfen.

Meine erste Frage betrifft Abschnitt 2.1, wo man bei Kreisdetektion direktionale Informationen benutzt, um die Parameter von 3 auf 1 zu reduzieren. Den Satz
"Formally, what happens is the equation introduces a term dy/dx which is known since where is the gradient direction"
verstehe ich nur leider nicht.

Die Formel beschreibt ja nichts anderes als die Erfüllung der Kreisformel - also dass f einen konkreten Punkt durch den x-Vektor erhält und dann alle möglichen Parameter-Vektoren a errechnet, so dass die Parameter die Kreisformel für diesen konkreten Punkt erfüllen. Da hat man also drei Dimensionen durch die drei Parameter. Mir ist auch klar dass man dies auf eine Dimension runterbrechen kann, wenn man durch den Gradienten bereits die Richtung kennt, in der der Kreis (vom Kantenpunkt aus) liegt - mir ist nur der Zusammenhang zur Ableitung (?) nicht bewusst und was genau jetzt dieses dy/dx ist.

Aus dem selben Grund verstehe ich auch Kapitel 3 des Papers nicht vollständig.
Hierbei geht es dann um die Detektion von Ellipsen - der Einfachheit halber erstmal solcher, deren längere Achse parallel zur x-Achse liegt - welche ja durch die Formel beschrieben werden.
( Mittelpunkt der Ellipse, die Längen der Achsen)
Soweit verständlich, nur wird dann in den Formeln (7) bis (14) wieder die Ableitung ins Spiel gebracht und irgendwo verliere ich dann den Anschluss. Ich schreibe jetzt der Faulheit halber nicht alle Formeln aus dem Paper einfach 1:1 ab, das kann ich bei Bedarf ja notfalls nachholen.

Mit der zweiten Hälfte von 2.2 sowie mit 3.1 hab ich auch so meine Probleme, aber die sind nicht so essenziell (hoffe ich) und ein anderes Thema.

Wäre für Hilfe sehr dankbar! Habe zum Glück noch über ne Woche Zeit Augenzwinkern
zyko Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hough-Transformation für Ellipsen
Zitat:
- mir ist nur der Zusammenhang zur Ableitung (?) nicht bewusst und was genau jetzt dieses dy/dx ist.


s. "Ballard" Seite 114 Gleichung (8). Berücksichtige beim Ableiten, dass gilt.
Da die Ableitung die Steigung der Kurve (Kreis | Ellipse etc.) darstellt, gewinnt man eine Zusatzbedingung, um die Anzahl der Hough-Parameter zu reduzieren.
Für weitere Fragen dazu, müsste ich selbst das Paper durchlesen.
Samsa Klaus Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube was mich verwirrt ist der Gebrauch von und und deren Beziehung. Eines ist die Ableitung der Funktion(?) nach x... aber das andere?

Dass die Ableitung eine weitere Information enthält, mit der man die Parameter reduzieren kann, klingt logisch. Mich wundert nur (jetzt wo ich noch mal drüber nachdenke), dass man scheinbar mit einem einzigen Punkt auf einer Ellipsen-Kante mit den Gleichungen (6) bis (14) eine konkrete Ellipse berechnen kann. Theoretisch wären unendlich viele Ellipsen möglich, wenn man keine festen Werte für a, b und den Mittelpunkt hat. Der Punkt besitzt als Info ja nur den Gradient, also die Richtung, in der sich der Mittelpunkt befindet, sowie die Steigung, und wenn ich gerade keinen Denkfehler habe, sollten da doch noch immer unendlich viele in frage kommen.
Aber ich will jetzt definitiv nicht fordern, dass du dir das Paper auch durchliest. Es ist für meinen nicht-mathematischen Verstand nur hier und da etwas schwerer, nachzuvollziehen, was da gerade was ist. ^^
Danke jedenfalls schon mal!
zyko Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hough-Transformation für Ellipsen
Beachte, dass in deinem Fall das Argument nach "Ballard" Seite 112 Kapitel 2. der Vektor
ist.
Es gilt damit
als Funktionsgleichung der Ellipse. Alle Punkte , für die dieser Ausdruck wird, liegen auf dem Ellipsenrand, innerhalb, außerhalb.
In den Vektor können auch noch die Koordinaten des Ellipsenmittelpunkts einbezogen werden.
Da gilt , ist von abhängig.
Wenn du jetzt nach ableiten willst, musst du deshalb sowohl direkt nach (erster Summand) als auch indirekt (Kettenregel) über nach (zweiter Summand) ableiten. Stelle dir vor, die hättest die Ellipsengleichung nach aufgelöst und in eingesetzt, dann gäbe es darin kein mehr sondern nur noch .
Der erste Summand kann direkt nach abgeleitet werden. Der zweite Summand ist von abhängig, aber ist noch von abhängig. Deswegen gilt
"Ballard" Seite 114 Gleichung (8)
Samsa Klaus Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, alles klar. gilt, weil sich der Mittelpunkt der Ellipse nicht nur in eine Richtung verschieben kann, wenn die Richtung des Mittelpunkts durch den Gradienten eines Kantenpunktes feststeht. Ändert sich also die eine Koordinate, ändert sich immer auch die andere. Soweit ungefähr korrekt?

Dann bin ich mir bewusst, wie die Ableitung funktioniert. Der Übergang von (8) zu (9) erschließt sich mir nicht wirklich, aber alle anderen schon.

Meine einzige Frage zu dieser Thematik wäre dann noch, wie genau das aufgelöst wird. Es wird im Paper halt nur gesagt, dass dieser Wert ja bekannt sei.
... gerade beim Tippen bin ich glaub ich drauf gekommen. ist ja , also der x-Achsen-Abstand vom Kantenpunkt zum Mittelpunkt, ebenso. Dann wäre einfach die Steigung zu diesem Punkt, sprich, der Gradient am Kantenpunkt in Richtung des Mittelpunkts. Den kennt man ja in der Tat.
Wenn man also feste und den Kantenpunkt hat, kann man mit (13) und (14) den Mittelpunkt ausrechnen. Nur...
1) hab ich das mal mit beispielhaften Werten gemacht (a = 4, b = 3, p = (5,5) und Steigung 45° von der x-Achse aus) und habe so und raus - was vier Punkte ergibt, die meiner Meinung nach so eigentlich nicht als Mittelpunkte in Frage kommen. Vielleicht weil die Steigung 1 halt nicht einfach für verwendet werden kann? Auf S.112 wird ja auch aus irgendeinem Grund noch der Tangens ins Spiel gebracht. Selbst mit dieser Formel komme ich aber auf , was durch das Quadrat in der Formel hinterher aufs selbe herauskommen würde.
2) Sind a und b wirklich bekannt? So könnte man mit der Methode ja wirklich nur eine ganz bestimmte Ellipse finden, von der man lediglich den Mittelpunkt nicht kennt. Dann wiederum gäbe es ja nur zwei, nicht vier Parameter.

Vielen Dank schon mal, hab einige Sachen schon wieder um einiges besser verstanden.
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