Durchschnitt messbarer Mengen

09.12.2016, 20:36

yellowman

Durchschnitt messbarer Mengen

Hallo zusammen, ich habe die Aufgabe:

Zeige: Der Durchschnitt $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ abzählbar vieler messbarer Mengen $\begin{eqnarray*} A_1,A_2,... \end{eqnarray*}$ im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ ist messbar.

Meine Ideen:

Ich weiß das wenn $\begin{eqnarray*} A_1, A_2,... \end{eqnarray*}$ messbar, so ist auch deren Vereinigung messbar. Es gilt: $\begin{eqnarray*} \mu(A_1\cup A_2\cup A_3\cup ...) \end{eqnarray*}$ messbar.

Nach dem Additionssatz (Heißt der so?) gilt dann:

$\begin{eqnarray*} \mu(A_1\cap A_2\cap ...)=\mu(A_1\cup A_2\cup ...)-\mu(A_1)-\mu(A_2)-... \end{eqnarray*}$

Damit ist der Durschnitt abzählbar vieler messbarer Mengen messbar. Kann ich das so machen?

Grüße!

10.12.2016, 14:16

yellowman

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RE: Durchschnitt messbarer Mengen
Hat noch jemand eine Idee?

10.12.2016, 14:23

HAL 9000

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Ich weiß nicht, warum du hier überhaupt mit einem Maß operierst. Messbarkeit bedeutet nur Zugehörigkeit zu einer Sigma-Algebra (im vorliegenden Fall speziell die Borelsche Sigma-Algebra des $\begin{align*} \mathbb{R}^n \end{align*}$ , was aber für den Nachweis hier vollkommen unwichtig ist).

Und dann folgt die hier nachzuweisende Behauptung simpel aus

$\begin{align*} \bigcap_k A_k = \left( \bigcup_k A_k^c \right)^c \end{align*}$

in Verbindung mit den Sigma-Algebra-Eigenschaften.

10.12.2016, 14:49

yellowman

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Hallo Hal9000, wir haben das Lebesgue Maß nicht maßtheoretisch eingeführt über die Sigma Algebra sondern über ein Integral.

Eine Menge $\begin{eqnarray*} A\subset\mathbb R^n \end{eqnarray*}$ heißt Lebesgue-meßbar wenn die Funktion $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ integrierbar ist. Die Zahl $\begin{eqnarray*} v_n(A)=\int_A 1d^nx \end{eqnarray*}$ heißt dann das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ dimensionale Volumen oder Lebesgue Maß von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ .

So wie ich das verstanden habe folgt aus der Sigma Algebra sofort das der Durschnitt messbarer Mengen messbar ist.
Ich denke da wir die Messbarkeit über das Integral eingeführt haben muss hier anders argumentiert werden?

Grüße!

10.12.2016, 18:26

techies

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probier's doch mal direkt mit der Definition über das Integral.

$\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ ist messbar für $\begin{eqnarray*} i = 1,...,n \end{eqnarray*}$ , also existiert $\begin{eqnarray*} \int_{A_i} 1 dx \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i = 1,...,n \end{eqnarray*}$ (*)

Sei $\begin{eqnarray*} A = \bigcap A_i \end{eqnarray*}$ nichtleer , wegen (*) existiert das Integral $\begin{eqnarray*} \int_{A} 1dx \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ messbar.

10.12.2016, 18:48

HAL 9000

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Zitat:

Original von yellowman
Eine Menge $\begin{eqnarray*} A\subset\mathbb R^n \end{eqnarray*}$ heißt Lebesgue-meßbar wenn die Funktion $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ integrierbar ist.

Dann folgt für mich unweigerlich die Frage, wie ihr denn dann (Lebesgue-)Integrierbarkeit definiert habt. Denn nach der üblichen Definition setzt diese Lebesgue-Messbarkeit voraus, was ja dann eine zirkuläre, nicht auflösbare Definition wäre - also müsst ihr das anders gelöst haben. verwirrt

10.12.2016, 19:20

yellowman

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In folgenden Skript bzw. Zusammenfassung ist aufgelistet wie wir das Integral und das Lebesgue Maß definiert haben. Zusammenfassung

Wir haben nicht erst das Maß sondern erst das Integral eingeführt. Ich weiß, "normal" erfolgt die Einführung anders herum.

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