Integrierbarkeit & Existenz

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09.12.2016, 21:31	yellowman	Auf diesen Beitrag antworten »
Integrierbarkeit & Existenz Hallo zusammen, ich habe die Aufgabe: Gegeben sei $\begin{eqnarray} f(x,y)=\frac{sign(x,y)}{x^2+y^2} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \mathbb R^2\backslash\{(0,0)\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(0,0)=0 \end{eqnarray}$ . Zeige, dass $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ nicht über den $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ integrierbar ist aber dass die beiden iterierten Integrale $\begin{eqnarray} \int\int fdxdy \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \int\int fdydx \end{eqnarray}$ existieren und den Wert $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ haben. Meine Idee: Ich weiß das über $\begin{eqnarray} ]-\infty,\infty [ \end{eqnarray}$ absolut Riemann integrable Funktionen Lebesgue integrabel sind und beide Integrale stimmen überein. Das heißt also: $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\left\|\frac{sign(x,y)}{x^2+y^2}\right\|dxdy \end{eqnarray}$ Hat jemand eine Idee wie ich das mit dem Betrag nun mache? Es muss wohl $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ herauskommen so das man sieht das $\begin{eqnarray} f(x,y) \end{eqnarray}$ nicht Lebesgue integrierbar ist. Zur Auswertung: Die iterierten Integrale liefern den Wert Null da man eine ungerade Funktion über symmetrische Intervalle integriert. Damit ist der Wert der iterierten Integrale Null. $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} fdxdy=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} fdydx=0 \end{eqnarray}$ Nun meine eigentliche Frage. Warum sieht man das $\begin{eqnarray} f(x,y) \end{eqnarray}$ nicht Lebesgue integrierbar ist (Riemann integrier kann sie doch sein?) aber trotzdem den Wert Null liefert? Ich meine die Integrale dürften doch wenn sie nicht Lebesgue integrierbar sind garnicht auswertbar sein? Grüße
10.12.2016, 12:17	yellowman	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integrierbarkeit & Existenz Hat niemand eine Idee? Grüße!
10.12.2016, 18:11	yellowman	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integrierbarkeit & Existenz Push!
10.12.2016, 18:53	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integrierbarkeit & Existenz Ich weiß nicht wie das Signum mit 2 Argumenten definiert ist, aber ich würde wetten der Betrag ist (fast immer) 1. Und dann kann man das Integral schön mit Polarkoordinaten lösen. Integrierbar bedeutet der Betrag ist integrierbar mit einem endlich Wert. Sonst (bis auf spezielle Ausnahmen) ist das Lebesgue-Integral nicht einmal definiert. Punktweise sind die Querschnitte aber integrierbar.
10.12.2016, 19:17	yellowman	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integrierbarkeit & Existenz Hallo IfindU, ich habe die Integration mittels Polarkoordinaten hinbekommen und erhalte: $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\left\|\frac{sign(x,y)}{x^2+y^2}\right\|dxdy=\infty \end{eqnarray}$ Damit ist $\begin{eqnarray} f(x,y) \end{eqnarray}$ nicht Lebesgue integrierbar. Es lässt sich allerdings keine Aussage über die Riemann integrierbarkeit treffen. Wenn ich die beiden iterierten Integrale auswerte erhalte ich den Wert Null. Ich weiß dass das Integral nicht Lebesgue integrierbar ist. Bedeutet das nun, dass die Funktion $\begin{eqnarray} f(x,y) \end{eqnarray}$ über den $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ Riemann integrierbar ist aber nicht Lebesgue integrierbar?
11.12.2016, 13:53	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integrierbarkeit & Existenz Ich bin mir nicht ganz sicher wie man uneigentlich Riemann-Integrierbar im höherdimensionalen definiert. Es könnte das aber bedeuten.
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11.12.2016, 14:17	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Auf der englischen Wikipedia steht, dass man für uneigentliche Riemann-integrierbarkeit im $\begin{align} \mathbb R^n \end{align}$ den Limes $\begin{align} \lim_{a\to\infty}\int_{[-a,a]^n}f \end{align}$ untersuchen muss, gegeben natürlich, dass $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ über jede dieser Mengen Riemann-integrierbar ist.
11.12.2016, 14:25	yellowman	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, im $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ reicht es dort nicht wenn man uneigentliche Riemann-Integrierbarkeit zeigen möchte eine passende Majorante zu finden? Das wäre doch das Vorgehen um uneigentliche Riemann-Integrierbarkeit zu zeigen? Vielen Dank!!!
11.12.2016, 16:45	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Majoranten sind generell dafür da den Betrag abzuschätzen. Und das kannst du hier nicht (wäre sonst Lebesgue-Integrierbar). Nach der Definition von Guppi hast du aber $\begin{eqnarray} \int_{[-a,a]^2} f = 0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} a \in \mathbb R \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} \lim_{a \to \infty} \int_{[-a,a]^2} f = ? \end{eqnarray}$ .
11.12.2016, 17:03	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, ich hab übersehen man das so nur für nichtnegative Funktionen definiert. Aber seht einfach selbst: https://en.wikipedia.org/wiki/Improper_i...roper_integrals
12.12.2016, 10:35	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Darunter findet man, dass $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ uneigentlich integrierbar ist, wenn $\begin{eqnarray} f_+ \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f_- \end{eqnarray}$ uneigentlich Integrierbar sind. Interessanterweise ist das eine Verallgemeinerung, die im eindimensionalen nicht den `klassischen' Begriff von uneigentlicher Integrierbarkeit liefert. Damit sollte uneigentlich Riemann-Integrierbarkeit und Lebesgue-Integrierbarkeit das gleiche sein, vorausgesetzt man redet über lokal Riemann-integrierbare Funktionen. Kein Wunder, dass den Begriff niemand benutzt.
12.12.2016, 14:51	yellowman	Auf diesen Beitrag antworten »
Bedeutet das nun das $\begin{eqnarray} f(x,y) \end{eqnarray}$ nicht Lebesgue und auch nicht Riemann integrabel ist aber dennoch die iterierten Integrale den Wert Null liefern? Danke!!!
12.12.2016, 15:26	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man die Definition von Wikipedia nutzt, dann ja. Die iterierten Integrale ergeben 0, weil sich jede Menge Terme gegenseitig aufheben. Bei Lebesgue- und hoeherdimensionaler uneigentlich Riemann-Integrierbarkeit will man Konvergenz ohne die Ausloescheffekte haben. Man fordert also, dass Positiv- und Negativteilanteil beide etwas sinnvolles liefern. Wären die beiden Werte endlich, so würde daraus folgen, dass das Lebesgue- und Riemannintegral über $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ den Wert 0 hat. Ist hier aber nicht der Fall.
12.12.2016, 16:40	yellowman	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, dass sollte nun einigermaßen klar sein. Noch eine Frage zu der Berechnung der iterierten Integrale. Reicht das als Begründung das $\begin{eqnarray} \frac{sign(xy)}{x^2+y^2} \end{eqnarray}$ eine ungerade Funktion für $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ ist und eine ungerade Funktion über ein symmetrisches Intervall liefert Null? Grüße!
12.12.2016, 16:45	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
`Symmetrisches Intervall' klingt als Ausdruck etwa schräg (habe es wenigstens noch nie gehört), aber ja, reicht. Der Beweis dieser Tatsache ist ein Einzeiler, also nichts weltbewegendes. (Integral aufspalten, substituieren, Ungeradheit (klingt auch komisch) nutzen und schon stehts.) Aber man muss ja nicht immer das Rad neu erfinden. Edit: Man sollte noch erwähnen, dass das Integral existiert natürlich. Niemand würde sagen $\begin{eqnarray} \int_{\mathbb R} x dx = 0 \end{eqnarray}$ .

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