Dimension des Schnitts zweier Untervektorräume bestimmen

10.12.2016, 11:38	Mur	Auf diesen Beitrag antworten »
Dimension des Schnitts zweier Untervektorräume bestimmen Meine Frage: Hallo, die Aufgabe lautet: Seien $\begin{eqnarray} U:= <\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} W:= <\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}> \end{eqnarray}$ Untervektorräume des $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ -Vektorraumes $\begin{eqnarray} \mathbb R^{4} \end{eqnarray}$ . Bestimmen Sie die Dimension von $\begin{eqnarray} U\cap W \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Mein Ansatz für diese Aufgabe ist: $\begin{eqnarray} \lambda_{1} \cdot u_{1} + \lambda_{2} \cdot u_{2} + \lambda_{3} \cdot u_{3} = \lambda_{4} \cdot w_{1} + \lambda_{5} \cdot w_{2} + \lambda_{6} \cdot w_{3} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \lambda_{1} \cdot u_{1} + \lambda_{2} \cdot u_{2} + \lambda_{3} \cdot u_{3} - \lambda_{4} \cdot w_{1} - \lambda_{5} \cdot w_{2} - \lambda_{6} \cdot w_{3} = 0 \end{eqnarray}$ Mittels Gaußverfahren bin ich auf folgende homogenes LGS in Matrizenform gekommen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 & 0&2&0&0 \\ 0&12&0&0&-10&-3&0 \\ 0&0&-24&0&-13&21&0 \\ 0&0&0&-24&-53&27&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ (Die letzte Spalte enthält die Lösung; siehe Anhang für die Rechnung) Mein erstes Problem: Jetzt komme ich aber leider nicht mehr weiter und weiß nicht wie ich jetzt die Lambdas rauskriegen soll.. Ich muss doch meine Lambdas herausfinden und dann mit diesen Lambdas neue Vektoren mittels einer Linearkombination darstellen und diese sind dann aus U schneidet W. Mein 2. Problem: Muss ich dann prinzipiell mit den 6 Lambdas auch 6 Vektoren erzeugen, prüfen ob die Linear Unabhänig sind und diese dann als meine Basis festlegen, um die Dimension ablesen zu können? Ich hoffe ihr könnt mir helfen.. Vielen Dank im Voraus!
12.12.2016, 17:27	Ulrich Ruhnau	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dimension des Schnitts zweier Untervektorräume bestimmen Deine Rechnung ist soweit ausgezeichnet. Was hier aber fehlt und gefordert ist, ist die Interpretation Deines Ergebnisses. Gesucht ist also eine Basis für die Schnittmenge der Untervektorräume. Der Übersicht halber schreibe ich dein Ergebnis etwas anders hin. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 12 & 0 & 0 & -10 & -3 \\ 0 & 0 & -24 & 0 & -13 & 21 \\ 0 & 0 & 0 & -24 & -53 & 27 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3 \\ \lambda_4 \\ \lambda_5 \\ \lambda_6 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die ersten drei Spalten deiner Matrix repräsentieren die drei Basisvektoren, die den Unterraum U aufspannen. Und die Spalten 4, 5 und 6 spannen den Unterraum W auf. Gesucht sind z.B. zwei Vektoren $\begin{eqnarray} a\in \mathbb R^4 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b\in \mathbb R^4 \end{eqnarray}$ , die unsere gesuchte Schnittmenge aufspannen. Ein Vektor $\begin{eqnarray} v\in U\cap W \end{eqnarray}$ könnte z.B. so dargestellt werden: $\begin{eqnarray} v=a \lambda_5 + b \lambda_6 \end{eqnarray}$ Dabei bietet es sich gerade an, $\begin{eqnarray} \lambda_5 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda_6 \end{eqnarray}$ als freie Parameter zu benutzen. Im Prinzip repräsentiert die Spalte 5 den Vektor $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ und die Spalte 6 den Vektor $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ . Es fehlt nur noch eine kleine Modifikation durch Zeile 4 der Matrix. Demnach ist der unterste 4-Tupelwert in unser Schnittmenge gleich 0. Damit lautet das Ergebnis. $\begin{eqnarray} v= \lambda_5 \begin{pmatrix} 2 \\ -10 \\ -13 \\ 0 \end{pmatrix} +\lambda_6 \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 21 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich überlasse es dir, dies als Menge darzustellen.

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