Lösbarkeit LGS mit Formvariablen

10.12.2016, 13:50	lukas-spar	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösbarkeit LGS mit Formvariablen Meine Frage: Hallo, ich bin mir unsicher, wie die Aufgabe zu lösen ist. : Für welche Werte $\begin{eqnarray} \alpha ,\tau \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ ist das folgende LGS lösbar (eindeutig, mehrdeutig) und für welche unlösbar? $\begin{eqnarray} <br /> \begin{gathered}<br /> 2w + x = 1 \hfill \\<br /> 2w + x - 2y + 4z = 1 \hfill \\<br /> 4w + 2x - y + \alpha z = 0 \hfill \\<br /> - 2x + y + 4z = \tau \hfill \\ <br /> \end{gathered} <br /> \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich weiß grundsetztlich, wie man eine solche Frage beantwortet. Das Problem ist, dass "alpha" und "tau?" nicht in der selben Zeile stehen. Meine Lösung bis jetzt: $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & -2 & 4 & 1 \\ 4 & 2 & -1 & \alpha & 0 \\ 0 & -2 & 1 & 4 & \tau \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ dann etwas Zeilen getauscht, sodass "alpha" in der letzten Zeile steht und die Matrix in der Stufenform ist.: $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & 1 & 4 & \tau \\ 0 & 0 & -2 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \alpha -2 & -2 \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ Wie gesagt, wenn "alpha" und "tau" in einer Spalte stünden, wäre das LGS eindeutig lösbar, wenn "alpha" undgleich 2 wäre, wenn "alpha" 2 wäre und "tau" undgleich 0, dann wäre das LGS und lösbar und wenn "alpha" 2 und "tau" 0, dann wäre das LGS mehrdeutig lösbar. *Die letzte Spalte ist der b-Vektor, wo eigentlich ein senkrechter Strich davor ist. Dank für die Hilfe
11.12.2016, 18:31	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wo sich die Formvariablen ( $\begin{eqnarray} \alpha, \ \tau \end{eqnarray}$ ) befinden, sollte eigentlich kein Problem darstellen. Löse zunächst das System so, als wären die beiden Formvariablen gewöhnliche Zahlen (das sind sie ja auch). Im Lösungs-4-Tupel befinden sich dann auch diese Variablen und dabei kann man jetzt die einzelnen Fälle diskutieren. Du wirst finden, dass x und w von beiden Variablen, und y und z nur von $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ abhängen. Für eine mehrdeutige Lösung müsste das System abhängig werden. Ob dies möglich ist, erkennt man ebenso aus der allgemeinen Lösung oder man untersucht, ob eine Nullzeile entstehen kann. Kontrollergebnis für einen Teil der Lösung: $\begin{eqnarray} z = \frac 2 {2 - \alpha} \end{eqnarray}$ mY+

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