Tschebyscheff-Ungleichung

10.12.2016, 14:43

kid1412

Tschebyscheff-Ungleichung

Meine Frage:
1:Wie oft muss man mit einem fairen Wurfel wurfeln, damit die Wahrscheinlichkeit
dafur, dass die mittlere Augenzahl um mehr als 0:1 vom Erwartungswert abweicht,
kleiner als 0:01 ist?

2:Eine Zufallsvariable X nehme nur Werte aus der Menge fn 2 N: n 13g an. Weiter
sei E(X) = 10 und V ar(X) = 0:48. Schatzen Sie p(X 6) nach oben ab.

Ich kann die Tschebyscheff-Ungleichung nicht sehr gut verstehen.
Wer kann mir helfen?

Meine Ideen:
ich denke ,dass
P(|X-E(x)>0.1)<0.01

Aber ich kann nicht schätzen.

10.12.2016, 14:54

HAL 9000

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RE: ich habe zwei Fragen mit Tschebyscheff-Ungleichung

Zitat:

Original von kid1412
2:Eine Zufallsvariable X nehme nur Werte aus der Menge fn 2 N: n 13g an.

Sehr interessant. Vielleicht versuchst du es nochmal in lesbarer Form. Das betrifft nicht nur diese Zeile, sondern auch den Rest des Beitrags. Finger2

P.S.: Es gibt hier eine "Vorschau"- Funktion, wo man nach Abfassen und vor Abschicken des Beitrags nochmal die Lesbarkeit überprüfen kann.

10.12.2016, 15:13

kid1412

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RE: ich habe zwei Fragen mit Tschebyscheff-Ungleichung

Zitat:

Original von kid1412
Meine Frage:
1:Wie oft muss man mit einem fairen Wurfel wurfeln, damit die Wahrscheinlichkeit
dafur, dass die mittlere Augenzahl um mehr als 0.1 vom Erwartungswert abweicht,
kleiner als 0.01 ist?

2:Eine Zufallsvariable X nehme nur Werte aus der Menge 1<n<=13 an. Weiter
sei E(X) = 10 und V ar(X) = 0.48. Schatzen Sie p(X<=6) nach oben ab.

Ich kann die Tschebyscheff-Ungleichung nicht sehr gut verstehen.
Wer kann mir helfen?

Meine Ideen:
ich denke ,dass
P(|X-E(x)>0.1)<0.01

Aber ich kann nicht schätzen.

10.12.2016, 15:55

HAL 9000

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Zu 1) Bestimme Erwartungswert und Varianz der Augenzahl eines Wurfes, und darauf aufbauend dann die entsprechenden Kenngrößen für den Mittelwert der Augenzahl von $\begin{align*} n \end{align*}$ Würfen. Hast du erstmal diese Kenngrößen, dann kannst du Tschebyscheff direkt anwenden.

Zu 2) Hier kann man grob abschätzen

$\begin{align*} P(X\leq 6) = P(X-10\leq -4) \leq P(|X-10|\geq 4) \leq \ldots \end{align*}$

Mit der letzten angedeuteten Abschätzung meine ich dann direkt Tschebyscheff - einfach nur einsetzen!

11.12.2016, 14:35

kid1412

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Danke.

Die 2 Aufgabe habe ich 0.03 bekommt.
Aber die erste Aufgabe habe ich noch keine Arhnung,wie ich E(X)und Var((x) rechnen soll.

14.12.2016, 13:43

HAL 9000

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Zitat:

Original von kid1412
Aber die erste Aufgabe habe ich noch keine Arhnung,wie ich E(X)und Var((x) rechnen soll.

Bei 1) brauchst du zunächst Erwartungswert und Varianz der Augenzahl $\begin{align*} X_1 \end{align*}$ eines Würfels. Für die mittlere Augenzahl $\begin{align*} \bar{X}_n=\frac{1}{n}\left( X_1+\ldots+X_n\right) \end{align*}$ bei $\begin{align*} n \end{align*}$ Würfen folgt dann nämlich über die bekannten Rechenregeln für Erwartungswerte $\begin{align*} E(\bar{X}_n) = E(X_1) \end{align*}$ sowie Varianzen $\begin{align*} V(\bar{X}_n) = \frac{1}{n}V(X_1) \end{align*}$ , und mit diesen beiden Werten gehst du ja dann in Tschebyscheff hinein.

Also: Wie bestimmt man Erwartungswert $\begin{align*} E(X_1) \end{align*}$ und Varianz $\begin{align*} V(X_1) \end{align*}$ einer diskreten Zufallsgröße, deren Verteilung wie hier vollständig gegeben ist durch

$\begin{align*} P(X_1=1) = P(X_1=2) = \ldots = P(X_1=6) = \frac{1}{6} \end{align*}$ ,

solltest du eigentlich formelmäßig kennengelernt haben!

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