Dimension Untervektorräume Vereinigung |
| 10.12.2016, 15:12 | Statista | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Dimension Untervektorräume Vereinigung Sei die Vereinigung zweier verschiedener eindimensionaler Unterverktorräume eines zweidimensionalen K-Vektorraums V gegeben. Begründen Sie, warum folgende Aussagen wahr oder falsch sind: 1. Die Vereinigung ist ganz V 2. Die Vereinigung ist nie ganz V 3. Die Vereinigung ist eindimensional 4. Die Vereinigung ist zweidimensional 5. Die Vereinigung ist nie ein Vektorraum 6. Die Vereinigung ist in manchen Fällen kein Vektorraum (lies: es gibt Fälle, in denen die Vereinigung kein Vektorraum ist). Meine Ideen: Vorab: Nehmen wir zwei Untervektorräume u1 vereinigt mit u2. Dies bedeutet doch, dass jeder Vektor der in dieser Vereinigungsmenge liegt entweder in u1 oder in u2 oder in beiden liegt. Zu 1: Die Aussage ist falsch, denn die Vereinigung kann nicht ganz V sein, da die Vereinigung von zwei verschiedenen Untervektorräumen unter Vektoraddition nicht abgeschlossen ist, somit ist es kein Untervektorraum und somit kein Vektorraum und somit nicht ganz V. Zu 2: Diese Aussage müsste wahr sein, siehe 1. Zu 3: Diese Aussage müsste falsch sein, da das was die Vereinigung erzeugt zwei verschiedene Untervektorräume sind, also haben sie zwei unterschiedliche Basen, somit müssten sie zweidimensional sein. Zu 4: Diese Aussage müsste wahr sein, siehe 3. Zu 5: Diese Aussage müsste wahr sein, siehe 1. Zu 6: Diese Aussage müsste wahr sein, siehe 1. Ein bisschen irritiert hat mich das schon, weil 1, 2, 5 und 6 sich für mich irgendwie äquivalent angehört haben. Sind meine Ideen richtig, was ist falsch? |
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| 10.12.2016, 18:12 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
3. und 4. ist falsch. Ein Vektorraum V hat eine Dimension, das ist nach Definition die Anzahl der Vektoren einer Basis von V. Eine Teilmenge M eines Vektorraums V hat genau dann eine Dimension, wenn M ein Vektorraum ist. |
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| 11.12.2016, 09:26 | Ulrich Ruhnau | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich bin zwar kein Mathematiker, aber ich würde die Antwort von Elvis bestätigen. Seien Vektorraum 1 und Vektorraum 2 die beiden Teilräume von denen die Rede ist. Ich vergleiche Vektorraum 1 und 2 mit einem Zug, der sich auf der Linie1 oder 2 bewegen kann. Vektrraum 1 drückt aus, wo sich der Zug befindet, wenn er auf der Linie 1 bewegt wird, und Vektorraum 2 drückt aus, wo der Zug ist, wenn er sich auf Line 2 bewegt. Wenn man beide Räume vereinigt, bewegt sich der Zug irgendwo auf Linie 1 oder 2. Jedoch steht der Zug nicht weit ab der Gleise in der Landschaft. Das bedeutet, die Landschaft ist V und es gilt: 1. ist falsch 2. ist richtig 3. ist richtig 4. ist falsch 5. weiß ich nicht, vieleicht falsch 6. ah, siehe an! |
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| 11.12.2016, 11:13 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die Antworten von Statista, zu denen ich nichts gesagt hatte, sind richtig. Ulrich Ruhnau irrt bei 3. Damit kommen wir insgesamt zu folgender Antwort: 1. falsch 2. wahr 3. falsch 4. falsch 5. wahr 6. wahr |
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