Summenfolge Berechnen

10.12.2016, 18:57

Connor

Summenfolge Berechnen

Meine Frage:
Hi, ich soll gerade in der Uni beweisen, dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{k}{2^{k}} = 2 - \frac{n + 2}{2^{n}} \end{eqnarray*}$ und stehe gerade auf dem Schlauch. Kann mir bitte irgendjemand einen Ansatz verraten, an die Sache heran zu gehen?

Meine Ideen:
Ich hatte mir überlegt, das Summenzeichen nach Gauß weg zu bekommen. Dafür hätte ich k ersetzt mit [latex](n/2)(n+1)latex], aber das haut nicht ganz hin :/

10.12.2016, 18:59

HAL 9000

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Die Aufgabe schreit geradezu nach Vollständiger Induktion.

Zitat:

Original von Connor
Dafür hätte ich k ersetzt mit [latex](n/2)(n+1)latex], aber das haut nicht ganz hin :/

Richtig, das haut nicht hin: Du darfst $\begin{align*} \frac{1}{2^k} \end{align*}$ nicht ignorieren bzw. (bezüglich Summationsindex $\begin{align*} k \end{align*}$ ) als konstant ansehen, deswegen ist dies keine praktikable Idee. unglücklich

10.12.2016, 19:21

Wissenverbindet

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RE: Summenfolge Berechnen
Ich geb dir mal den Anfang vom Beweis (mit Induktion):

I.A.: n=0: 0 = 2-2 passt also

I.S.: "n-->n+1"

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{k}{2^k} = ( \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{k}{2^k} ) + \frac{n+1}{2^{n+1} } = 2 - \frac{n+2}{2^{n} } + \frac{n+1}{2^{n+1} } = ... = 2- \frac{n+3}{2^{n+1} }<br /> \end{eqnarray*}$

10.12.2016, 19:34

Connor

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RE: Summenfolge Berechnen
Habs, euch vielen Dank smile

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