Lineare Hülle

11.12.2016, 12:45	hiutzer1	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Hülle Meine Frage: Hallo, ich habe leider noch nicht 100% verstanden was genau die lineare Hülle ist. Ich lese zwar überall, dass es die Menge aller Linearkombinationen ist, aber diese Defintion ist mir nicht richtig zugänglich. Meine Ideen: Heisst lineare Hülle jetzt quasi, dass ich von meinem Vektorraum V alle Vektoren und deren Vielfache betrachte? Aber wie kann es dann eine Teilmenge sein, müsste es dann nicht wieder einfach der Vektorraum sein?
11.12.2016, 12:47	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, man bildet die lineare Hülle einer Teilmenge M von Vektoren aus V. Das ist dann ein Untervektorraum von V, und zwar der kleinste, der alle Vektoren aus M enthält. Er ist auch der Durchschnitt aller Untervektorräume von V, die M enthalten.
11.12.2016, 12:50	hiutzer1	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, dann ist die lineare Hülle also nicht immer "eindeutig" für einen Vektorraum sondern man kann sie bei jeder Teilmenge von V bilden und da beschreibt sie einfach alle Linearkombination von diesen Vektoren die in dieser Teilmenge liegen?
11.12.2016, 13:00	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, so ist die lineare Hülle <M> von M in V definiert.
11.12.2016, 20:00	hiutzer1	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch eine Frage, ich darf in der linearen Hülle aber Vektoren nicht mehrfach für die Linearkombination nutzen oder? Sonst würde man doch quasi unendlich viele Vektoren erzeugen können?
11.12.2016, 21:45	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Klar doch. Wenn der Körper K unendlich viele Elemente enthält, dann auch jeder K-Vektorraum. Nur nicht der Nullraum.
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12.12.2016, 10:43	hiutzer1	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann ist die kardinalität der linearen hülle die des Vektorraums aber die lineare hülle nicht gleich dem vektorraum sonst wäre es ja ein erzeugendwnsystem oder?
12.12.2016, 11:48	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Für Vektorräume über endlichen Körpern haben echte Untervektorräume echt weniger Elemente als der Vektorraum. Für unendliche Körper gilt das auch für den Nullraum, denn die lineare Hülle des Nullvektors ist immer der Nullraum.

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