Dimension Basis bestimmen

11.12.2016, 13:45

sonne1235

Dimension Basis bestimmen

Meine Frage:
Hallo,

Seien 2 Unterräume von K^3 gegeben mit dem Restklassenkörper Z/3Z.

U=span((1,1,1),(2,1,0),(0,2,1)) und V=span((2,0,1),(0,0,1)) ermitteln sie Basis und Demension für U,V, U+V und U Schnitt V.

Meine Ideen:
Also ich dachte mir erstmal auch wenn es die lineare Hülle ist, also mehrere Vektoren als die angegeben sind, muss ich nur die 3 bzw. 2 darstellen können, weil ich damit ja die Linearkombination bilde.

Da komme ich bei V auf die Standardbasisvektoren 1,0,0 0,1,0 0,0,1 also dim(U)=3 und bei V komme ich dann aber nur auf 2 Vektoren nämlich 1,0,0 und 0,0,1 also dim(V)=2.

Ist das erstmal richtig?
Für U+V bin ich mir unsicher, rechne ich da jeden Vektor von V mit jedem Vektor aus U komponentenweise zusammen?

Danke schonmal

11.12.2016, 15:39

Helferlein

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Wo bist Du auf den speziellen Körper eingegangen?

11.12.2016, 15:40

sonne1235

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Bei mir im Kopf quasi, ich weiss eben dass 1*3=3 auch in Z/3Z.

11.12.2016, 15:49

Helferlein

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Und wie bist Du bei U auf die Dimension drei gekommen? Nur weil es drei Vektoren sind?
Am besten überprüfst Du das mit Gauß.

11.12.2016, 16:07

sonne1235

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Ja weil die dim von U die Anzahl der Elemente der Basis ist. Aber war mir halt da nicht so sicher ob es 3 sind weil es ja keine eindeutige Basis gibt.

11.12.2016, 16:15

sonne1235

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Kannst du mir sagen was mit U+V gemeint bzw. eher wie ich eben zwei lineare Hüllen addiere?

11.12.2016, 18:14

Elvis

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Zitat:

Original von sonne1235
Bei mir im Kopf quasi, ich weiss eben dass 1*3=3 auch in Z/3Z.

Das tut besonders weh. $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/3\mathbb Z=\{0,1,2\} \end{eqnarray*}$ , und hier ist $\begin{eqnarray*} 3=0 \end{eqnarray*}$ .

11.12.2016, 18:16

Elvis

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Zitat:

Original von sonne1235
Ja weil die dim von U die Anzahl der Elemente der Basis ist. Aber war mir halt da nicht so sicher ob es 3 sind weil es ja keine eindeutige Basis gibt.

Das tut auch weh. Jeder Vektorraum hat eine Basis. Niemand kann erwarten, dass ein Vektorraum eine eindeutige Basis hat.

11.12.2016, 19:24

sonne1235

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Weiss gar nicht mehr warum ich 1*3=3 hier habe wobei wir gar keine 3 haben. Aber die Basis müsste doch passen und das die Basis nicht eindeutig ist hatte ich ja auch angemerkt.

11.12.2016, 19:38

Helferlein

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Mein Vorschlag von oben sagt Dir nicht zu? Vielleicht siehst Du dann den Fehler in deinen Überlegungen.

11.12.2016, 19:41

sonne1235

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Weiss nicht so recht wie ich da ansetzen soll.

11.12.2016, 19:43

Elvis

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Nichts passt. Nimm die Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ der Zeilenvektoren aus $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ und addiere die 1. Zeile zur 2. Zeile. Beachte dabei $\begin{eqnarray*} 3=0 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_3=\mathbb Z/3\mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

11.12.2016, 19:46

sonne1235

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Dann erhalte ich eben die 3. Zeile also 0,2,1

11.12.2016, 21:34

Elvis

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Glaubst Du immer noch, dass die 3 Vektoren, die U aufspannen, linear unabhängig sind ?

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