Grenzwert einer Folge

11.12.2016, 14:21

Retej223

Grenzwert einer Folge

Meine Frage:
Bestimmen sie den Grenzwert:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt{n} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Wir haben eigentlich "Rechenregeln" für den Grenzwert und da dachte ich mir :
$\begin{eqnarray*} \sqrt{n} -> a \end{eqnarray*}$
dann auch
$\begin{eqnarray*} n -> a*a \end{eqnarray*}$
und mit 1*n -> a*a folgt 1 -> a mit a =1 und n -> 1 was aber offensichtlich falsch ist. Wieso geht das nicht?

11.12.2016, 14:31

Guppi12

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Hallo,

unter der Annahme, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{n}\to a\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ stimmt auch $\begin{eqnarray*} n\to a^2 \end{eqnarray*}$
Das dahinter ist aber kompletter Unsinn.

Nur weil ein Produkt zweier Folgen gegen ein Produkt zweier Zahlen konvergiert, müssen doch nicht die jeweiligen Faktorfolgen gegen die Faktorgrenzwerte konvergieren. Ganz einfaches Beispiel:
Die konstante Einsfolge $\begin{eqnarray*} 1,1,... \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\cdot 2 \end{eqnarray*}$ . Die kann ich aber auch als $\begin{eqnarray*} 1\cdot 1,1\cdot 1,... \end{eqnarray*}$ schreiben. Konvergiert dann $\begin{eqnarray*} 1,1,1,... \end{eqnarray*}$ gleichzeitig außerdem noch gegen $\begin{eqnarray*} \frac 12 \end{eqnarray*}$ und gegen $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ ?

Bin mir gerade auch nicht ganz sicher, warum du das machst. Dass die Folge $\begin{eqnarray*} (n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ garnicht konvergiert, solltest du doch wissen, also muss gleich die erste Annahme falsch gewesen sein.

11.12.2016, 14:49

Retej223

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Ja aber die Folge hat ja im Prinzip trotzdem ein Grenzwert. Aber im Skript haben wir das als Rechenregel aber glaube dass war eher gemeint wenn xn gegen a läuft und yn gegen b dann läuft xnyn gegen ab. Aber kann ich dass dann halt nicht umdrehen? Sonst habe ich keine idee wie ich auf unendlich kommen soll.

11.12.2016, 14:58

Guppi12

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Zitat:

Ja aber die Folge hat ja im Prinzip trotzdem ein Grenzwert.

Im eigentlichen Sinne nicht, es gibt höchstens einen uneigentlichen Grenzwert.

Zitat:

Aber kann ich dass dann halt nicht umdrehen?

Ich habe dir doch gerade ein ganz offensichtliches Gegenbeispiel dazu angegeben.

Wenn du zeigen willst, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{n}\to\infty \end{eqnarray*}$ uneigentlich, dann weise das am besten direkt mit der Definition dafür nach. Wie lautet diese?

11.12.2016, 15:42

retej223

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Meinst du das mit dem Epsilonkriterium?

11.12.2016, 15:50

Guppi12

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Ich habe keine Ahnung, welche Definition ihr gewählt habt, das musst du bei dir in deinen Unterlagen nachsehen. Du möchtest zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{n}\to\infty \end{eqnarray*}$ , also musst du irgendwo eine Definition haben, was das bedeutet. Wie willst du die Aufgabe lösen, wenn du keine Ahnung hast, was du zeigen musst?

11.12.2016, 16:14

retej223

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Naja ich weiss das schon, wir haben das mit dem Epsilonkriterium definiert, also dass es einen Mindestindex n Element aus N geben muss, so dass dann jeder Folgenwert in diesem Epsilonschlau liegt, aber ich bin mir total unsicher, wie ich das dann mit der Definition zeige, weil es für mich irgendwie nur definiert was konvergenz ist.

12.12.2016, 10:13

klarsoweit

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Vielleicht solltest du auch mal unter dem Stichwort "Divergenz" nachschauen. Und helfen könnte uns auch der komplette und originale Text der Aufgabe. smile

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