Skalarprodukt induziert Norm

11.12.2016, 16:55	muntot	Auf diesen Beitrag antworten »
Skalarprodukt induziert Norm Meine Frage: Es sei $\begin{eqnarray} (M, d) \end{eqnarray}$ ein metrischer Raum und $\begin{eqnarray} (E, \|\| \cdot \|\|) \end{eqnarray}$ ein Banachraum. Wir betrachten nun den Raum $\begin{eqnarray} C_b(M,E):=\{f:M \rightarrow E \| f \end{eqnarray}$ ist stetig mit $\begin{eqnarray} \|\|f\|\| _{\infty}:=sup_{t\in M} \|\|f(t)\|\| < \infty\} \end{eqnarray}$ versehen mit der Norm: $\begin{eqnarray} \|\|\cdot \|\|_{\infty}: C_b(M,E) \rightarrow [0,\infty ); f \mapsto \|\|f\|\|_{\infty} \end{eqnarray}$ . Beweisen Sie: Die Norm $\begin{eqnarray} \|\|\cdot \|\|_{\infty} \end{eqnarray}$ wird genau dann von einem Skalarprodukt induziert, wenn wenigstens eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist. a) Es gilt $\begin{eqnarray} E={0} \end{eqnarray}$ . b) Der Raum $\begin{eqnarray} (E, \|\|\cdot \|\|) \end{eqnarray}$ ist ein Hilbertraum und M einelementig. Meine Ideen: Erstmal wollte ich fragen, was ich genau zeigen muss. Also was bedeutet hier in dem Fall induzieren? Die Norm kann doch kein Skalarprodukt sein, oder? Ich hoffe mir kann wer helfen. Viele Grüße
12.12.2016, 12:58	muntot	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann keiner helfen?
12.12.2016, 13:03	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn $\begin{eqnarray} \langle \cdot, \cdot \rangle \end{eqnarray}$ ein Skalarprodukt ist, so definiert $\begin{eqnarray} \\| \cdot \\| = (\langle \cdot, \cdot \rangle)^{1/2} \end{eqnarray}$ eine Norm. Diese nennt man von dem Skalarprodukt induziert. Die wenigstens Normen sind von einem Skalarprodukt induziert, d.h. es gibt kein Skalarprodukt, so dass man die Norm wie oben davon erzeugen kann. Deine Aufgabe ist zu zeigen wie selten genau das bei der Supremumsnorm der Fall ist.
12.12.2016, 15:34	muntot	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehr gut, jetzt weiß ich schon einmal WAS ich zeigen muss. Jetzt ist natürlich noch die Frage, WIE ich das denn zeigen kann. Ich bin gerade auf die Parallelogrammgleichung gestoßen. Reicht es dann schon zu zeigen, dass diese gilt? Also einmal für a) und einmal für b). Sie sagt ja folgendes: $\begin{eqnarray} \|\|x+y\|\|_{\infty}^2+\|\|x-y\|\|_{\infty}^2=2\|\|x\|\|_{\infty}^2+2\|\|y\|\|_{\infty}^2 \end{eqnarray}$ Jetzt muss ich nur noch schauen, wie mir die Bedingungen dabei helfen, richtig?
12.12.2016, 15:37	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst zwei Richtungen zeigen. Zum einen musst du zeigen, dass die Supremumsnorm in den Fällen a) und b) von einem Skalarprodukt induziert wird, und dann noch, dass es in keinem anderen Fall sein kann. (Das sagt das "genau dann, wenn"). Und für die eine Richtung: Kann man so machen, denn ja: Eine Norm ist genau dann von einem Skalarprodukt induziert, wenn die Norm die Parallelogramgleichung erfüllt.

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