Fkt nach Stetigkeit untersuchen

11.12.2016, 23:26

mauerflower

Fkt nach Stetigkeit untersuchen

Meine Frage:
Ich soll folgende Funktionen nach Stetigkeit untersuchen:
(siehe Bild)

Meine Ideen:
Also ich weiß wie man bei beiden Funktionen die Unstetigkeit nachweist :

Ich habe bei f und g das Folgenkriterium angewendet und kam auf:
f: $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ = 1 , f( $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ ) = 0
$\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ , lim $\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ = 0
f( $\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ ) = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1/n-1} \end{eqnarray*}$ , lim f( $\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ ) = -1 $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0 = f( $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ )

Analog mit der selben $\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ Folge habe ich das bei g gemacht und kam ebenfalls auf einen Widerspruch für x=1 und x=-1

Ist das erst mal alles richtig so?

Mein Hauptproblem ist jedoch zu sagen dass es für den restlichen Intervall stetig ist. Ich glaube man muss das Epsilon - Delta Kriterium anwenden, jedoch gilt das Kriterium doch auch nur für den Beweis an einem Punkt oder nicht?

12.12.2016, 09:16

klarsoweit

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RE: Fkt nach Stetigkeit untersuchen

Zitat:

Original von mauerflower
Ich habe bei f und g das Folgenkriterium angewendet und kam auf:
f: $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ = 1 , f( $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ ) = 0
$\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ , lim $\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ = 0

Das Blöde ist nur, daß diese Folge x_n nicht gegen x_0 konvergiert, was sie aber tun sollte. Ansonsten ist der Ansatz, eine Folge x_n zu finden, so daß f(x_n) nicht gegen f(x_0) konvergiert, durchaus in Ordnung. Schön wäre auch noch ein Hinweis darauf, daß die Funktion f außerhalb von x_0 stetig ist, da es sich um den Quotienten stetiger Funktionen handelt.

13.12.2016, 00:30

kottisakin

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RE: Fkt nach Stetigkeit untersuchen
Vllt mit der Fkt x_n= 1-1/n

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