Polynomvektorraum Grad n mit p(1)=0

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12.12.2016, 04:16	rätselbaum	Auf diesen Beitrag antworten »
Polynomvektorraum Grad n mit p(1)=0 Meine Frage: Ich habe folgendes Problem mit einer Aufgabe, wobei man 3 verschiedene Basen von Vektorräumen angeben soll und ein Vektorraum davon ist: $\begin{eqnarray} V = \left\{ p(x) \in P_n ; p(1) = 0 \right\} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich bin nicht besonders weit gekommen den mit einem polynomvektorraum hat man die Basis: $\begin{eqnarray} B = \left\{ 1, x, x^2, x^3, ..., x^n \right\} \end{eqnarray}$ was hier aber wegen der 2. Bedingung nicht hinhaut. Also dachte ich hier an so sachen wie $\begin{eqnarray} p(x)=x^3 - x^2 \end{eqnarray}$ (da das für x=1 p(1) = 0 ergibt) nur die Sache mit dem Grad n verwirrt mich etwas und ich bin mir nicht sicher wie ich ein Basispolynom mit verwendung von $\begin{eqnarray} x^n \end{eqnarray}$ angeben könnte.
12.12.2016, 10:28	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Für alle Elemente $\begin{eqnarray} p(x) \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} B=\{1,x,...,x^n\} \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} p(1)=1 \end{eqnarray}$ . Wenn Du 1 subtrahierst gilt für alle Elemente $\begin{eqnarray} q(x) \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} C=\{x-1,...,x^n-1\} \end{eqnarray}$ jedenfalls $\begin{eqnarray} q(1)=0 \end{eqnarray}$ . Ob das eine Basis ist oder nicht, darfst Du dir überlegen ... ich freue mich auf deine Antwort.
12.12.2016, 20:08	rätselbaum	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen dank für die antwort!! der Ansatz klingt schon viel besser.. an so was einfaches hätte ich garnicht gedacht hab mir in der zwischenzeit irgendwas mit $\begin{eqnarray} v(t) = -n \cdot x^n + x^{n-1} + ... + x^2 + x^1 + 1<br /> \end{eqnarray}$ als ein vektor in dieser basis überlegt aber der raum wäre meinem Verständnis nach dann so erstmal nur eindimensional also bringt mir das nicht besonders viel wobei..... ich schätze es würde auch gehen ?_? aber als basis würde dein Vorschlag für mich auf jeden fall sinn machen! falls jemand noch andere ideen hat kann er diese aber gerne äußern
13.12.2016, 09:12	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Meine Menge $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ besitzt n-1 Elemente. Ich bin ziemlich sicher, dass sie linear unabhängig sind (Beweis ?). Wenn sie auch noch ein Erzeugendensystem sind (Beweis ?), ist der betrachtete Vektorraum (n-1)-dimensional. Vom Gefühl her macht das Sinn, weil der Vektorraum der Polynome vom Grad höchstens n die Dimension n hat und durch die eine Bedingung p(1)=0 eingeschränkt wird. Tipp: Versuche den Beweis, dann wirst Du schlauer.
13.12.2016, 19:07	rätselbaum	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab immer probleme damit, beweise irgendwie formal hinzuschreiben aber jetzt logisch gedacht würde ich sagen, dass die elemente linear unabhängig sind. Die elemente eines Vektorraumes also hier jetzt alle möglichen Linearkombinationen der elemente von C ( = die lineare Hülle?) darf ich nicht miteinander multiplizieren sondern nur skalar multiplizieren und somit eben nicht aus zwei elementen dieser Basis/Menge C ein anderes element (oder ein vielfaches davon) erzeugen z.B. wenn ich ein $\begin{eqnarray} x^3 \end{eqnarray}$ im polynom haben will ist das nur möglich wenn ich $\begin{eqnarray} \alpha \cdot (x^3-1) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \alpha \in R \end{eqnarray}$ rechne? also ich darf nicht $\begin{eqnarray} \beta \cdot (x^2-1) \cdot (x-1) \end{eqnarray}$ rechnen um auf irgendwas mit $\begin{eqnarray} x^3 \end{eqnarray}$ zu kommen. Das wär jetzt in worten gefasst meine begründung warum die linear unabhängig sind und für ein Erzeugendensystem nehme ich ja die lineare hülle also alle n-1 elemente aus C die ich miteinander auf unendlich viele wege mit einander addiere oder skalar multipliziere? somit $\begin{eqnarray} V = Lin( x^n-1 , x^{n-1}-1 , ... , x^2-1 , x-1 ) \end{eqnarray}$ welches auch die bedingungen $\begin{eqnarray} p(x) \in P_n ; p(1) = 0 \end{eqnarray}$ erfüllt
13.12.2016, 20:00	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn Du Probleme mit Beweisen hast, so musst Du lernen, wie man Beweise führt. Mathematik besteht aus Definitionen, Sätzen und Beweisen. Die fallen nicht vom Himmel sondern werden von Mathematikern gemacht. Darum herum reden und dieses darum herum reden logisch denken nennen geht gar nicht.
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13.12.2016, 21:38	rätselbaum	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok ich schätze laut deiner antwort nach war meine erklärung nicht besonders gut also könnte ich daraus auch keinen guten beweis für die lineare unabhängigkeit ziehen, also wär mein nächster ansatz, dass ich einfach von anfang an mit der definition davon arbeite? also für die lineare Unabhängigkeit von vektoren (und die muss ja gelten wenn ich eine basis austelle) muss gelten: die gleichung: $\begin{eqnarray} \alpha_1 \cdot v_1 + \alpha_2 \cdot v_2 + ... + \alpha_{k-1} \cdot v_{k-1} + \alpha_k \cdot v_k = 0 \end{eqnarray}$ ist nur dann lösbar wenn alle $\begin{eqnarray} \alpha_i = 0 \; (1 \leq i \leq k) \end{eqnarray}$ und jetzt bezogen auf mein problem $\begin{eqnarray} B=\{ x^1-1 , x^2-1, ... , x^{n-1}-1 , x^n-1\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \alpha_1 \cdot (x^1-1) + \alpha_2 \cdot (x^2-1) + ... + \alpha_{n-1} \cdot (x^{n-1}-1) + \alpha_n \cdot (x^n-1) = 0 \Rightarrow \alpha_i = 0 \; (1 \leq i \leq n) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x \neq 1 \end{eqnarray}$ ich wüsste jetzt nicht ob oder wie ich das weiterführen muss? ich überleg einfach mal zunächst weiter mit dem versuch zu beweisen, dass das die vektoren eines erzeugendensystems sind. Zuerst die Definition: ein Unterraum U von V wird von den Vektoren $\begin{eqnarray} v_1, v_2, ..., v_k \end{eqnarray}$ erzeugt, oder $\begin{eqnarray} (v_1, v_2, ..., v_k) \end{eqnarray}$ ist ein Erzeugendensystem von U wenn $\begin{eqnarray} U=Lin(v_1, v_2, ..., v_k) \end{eqnarray}$ (hier ist von der bezeichnung her U=V und ich nehme die vektoren aus B) $\begin{eqnarray} B=\{ x^1-1 , x^2-1, ... , x^{n-1}-1 , x^n-1\} \end{eqnarray}$ ist ein erzeugendensystem von $\begin{eqnarray} V = \left\{ p(x) \in P_n ; p(1) = 0 \right\} \end{eqnarray}$ wenn $\begin{eqnarray} V = Lin(x^1-1 , x^2-1, ... , x^{n-1}-1 , x^n-1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \left\{ p(x) \in P_n ; p(1) = 0 \right\} = Lin(x^1-1 , x^2-1, ... , x^{n-1}-1 , x^n-1) \end{eqnarray*}$ jetzt wüsste ich da leider auch nicht weiter.. aber ich hoffe meine vorgehensweise ist wenigstens etwas besser als zuvor und wenn nicht wäre ich um jeden rat sehr dankbar ich würde das nämlich schon gerne lernen
14.12.2016, 09:14	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist schon etwas besser, denn es ist ein formal richtiger Ansatz und nicht nur Geschwafel. Deshalb helfe ich dir zunächst mal beim ersten Teil weiter: $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n\alpha_i(x^i-1)=0\Rightarrow \sum_{i=1}^n\alpha_ix^i-\sum_{i=1}^n\alpha_i=0 \end{eqnarray}$ , und weil das jetzt die Null im Vektorraum der Polynome vom Grad höchstens n mit der Basis $\begin{eqnarray} \{1,x,...,x^n\} \end{eqnarray}$ darstellt, sind alle $\begin{eqnarray} \alpha_i \; (i=1,...,n) \end{eqnarray}$ gleich 0. Beim zweiten Teil hast Du eine Mengengleichheit zu beweisen. Dass die rechte in der linken Menge liegt ist klar, weil jedes Polynom aus der Basis der rechten Menge die Nullstelle 1 hat, also auch jede Linearkombination davon (das kann man sicher noch formaler schreiben). Bleibt für dich der winzige Schritt, die linke Menge als Teilmenge der rechten Menge zu beweisen. Nimm ein Polynom vom Grad höchstens n mit Nullstelle 1 und schreibe es als Linearkombination der Basis.
19.12.2016, 22:05	rätselbaum	Auf diesen Beitrag antworten »
hatte die letzten tage leider keine zeit zu antworten zum 1. wäre mein beweis also so noch nicht fertig? also ich sehe, dass wenn mans in einer schreibweise mit benutzung von summenformeln schöner ist aber warum ist die begründung mit "weil das jetzt die Null im Vektorraum der Polynome vom Grad höchstens n mit der Basis $\begin{eqnarray} \{1,x,...,x^n\} \end{eqnarray}$ darstellt" nötig? da ich hier ja nur zeigen will, dass die linear unabhängig sind, vielleicht ist es offensichtlich aber ich bin grad ein bisschen verwirrt .. zum 2. also ich nehm $\begin{eqnarray} V = \left\{ p(x) \in P_n ; p(1) = 0 \right\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} W = Lin(x^1-1 , x^2-1, ... , x^{n-1}-1 , x^n-1) \end{eqnarray}$ und für $\begin{eqnarray} V = W \end{eqnarray}$ muss gelten: A. $\begin{eqnarray} V \subset W \end{eqnarray}$ B. $\begin{eqnarray} W \subset V \end{eqnarray}$ . und noch davor erstmal W als linearkombination schreiben $\begin{eqnarray} W = \alpha_1 \cdot (x^1-1) + \alpha_2 \cdot (x^2-1) + ... + \alpha_{n-1} \cdot (x^{n-1}-1) + \alpha_n \cdot (x^n-1) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \alpha_i (1 \leq i \leq n) \in R \; \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow W = \sum_{i=1}^n\alpha_i(x^i-1) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \alpha_i \in R \; \end{eqnarray}$ für A. $\begin{eqnarray} V \subset W \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \\ p(1)=0 \\ \sum_{i=1}^n\alpha_i(1^i-1) = 0 \\ \sum_{i=1}^n\alpha_i \cdot 0 =0 \\ \sum_{i=1}^n0 = 0 \\ 0=0 \end{eqnarray}$ und dann somit: $\begin{eqnarray} V \subset W \surd \end{eqnarray}$ für B. $\begin{eqnarray} W \subset V \end{eqnarray}$ : "Nimm ein Polynom vom Grad höchstens n mit Nullstelle 1 und schreibe es als Linearkombination der Basis." also $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n\beta_k(x-1)^k = \sum_{i=1}^n\alpha_i(x^i-1) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \alpha_i , \beta_k \in R \end{eqnarray}$ (das rechte ist ja die menge W als linearkombination dargestellt) mir ist hier leider immer noch nicht klar wie ich weitermach T_T
20.12.2016, 11:31	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
1. es geht nicht um Schönheit, sondern um das was ich aus der Formel geschlossen habe. Ausgehend von der Basis $\begin{eqnarray} x^i-1 \end{eqnarray}$ berechne ich eine Aussage über die Basis $\begin{eqnarray} x^i \end{eqnarray}$ , und in der Basis weiß ich, dass die Koeffizienten 0 sind, also weiß ich, dass die Vektoren $\begin{eqnarray} x^i-1 \end{eqnarray}$ linear abhängig sind. Das ist ein Beweis, denn ich folgere logisch aus der Voraussetzung das was ich haben will. Was Du gemacht hast ist kein Beweis sondern nur die Behauptung. Egal wie oft man eine Behauptung wiederholt, ihre Wahrheit wird durch Wiederholung nicht bewiesen (das funktioniert nur in der Propaganda und in der Werbung und in anderen verdummenden Disziplinen, nicht aber in der Mathematik). 2. anscheinend verstehst du überhaupt nicht worum es geht und was Du da machst. Ich kann dir nicht helfen, ich gebe auf.
20.12.2016, 21:19	rätselbaum	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn die koeffizienten 0 sind heißt es doch, dass die vektoren linear unabhängig sind.. naja ist auch egal es ist nicht besonders einfach einen beweis aufzustellen ohne, dass ich einen gesehen hab bzw anscheinend keinen der formal genug wäre

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