Beweis Intervallschachtelung

12.12.2016, 16:25

michelle_0406

Beweis Intervallschachtelung

Meine Frage:

Hallo Community,

ich habe folgendes Problem und komme einfach nicht weiter.
Aufgabenstellung:
gegeben:
Sei x > 1. Definiere rekursiv
$\begin{eqnarray*} I_{n} := [a_{n} ; b_{n} ], a_{n} , b_{n} \in \mathbb R , n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , durch

$\begin{eqnarray*} a_{1} = 1<br /> b_{1} = x<br /> a_{n+1} = \frac{2a_{n}b_{n}}{a_{n}b_{n}}<br /> b_{n+1} = \frac{a_{n}+b_{n}}{2} \end{eqnarray*}$

Aufgabe:
Zeige, dass $\begin{eqnarray*} (I_{n})_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine Intervallschachtelung ist so, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \in \cap_{n\in\mathbb N} I_{n} \end{eqnarray*}$

Weiß jemand evtl. einen Ansatz für obige Aufgabe?
Das ist bloß der erste Teil der Aufgabe und ich bekomme ihn nicht hin.

Meine Ideen:
Meine Idee war es, diese Aufgabe mit Hilfe des Bisektionsverfahrens zu lösen. Allerdings weiß ich nicht genau wie ich anfangen soll.
Wenn ich die Aufgabestellung bisher richtig interpretiert hab, muss ja

$\begin{eqnarray*} a_{n} < \sqrt{x} < b_{n} \end{eqnarray*}$

12.12.2016, 16:38

HAL 9000

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Du solltest wenigstens die Aufgabe richtig abschreiben: Hier

Zitat:

Original von michelle_0406
$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \frac{2a_{n}b_{n}}{a_{n}b_{n}} \end{eqnarray*}$

ist wohl eher $\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \frac{2a_{n}b_{n}}{a_{n}+b_{n}} \end{eqnarray*}$ gemeint.

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Du musst folgendes nachweisen:

1) $\begin{align*} a_n\leq a_{n+1}\leq b_{n+1}\leq b_n \end{align*}$ , damit auch tatsächlich eine Schachtelung $\begin{align*} [a_{n+1},b_{n+1}]\subseteq [a_n,b_n] \end{align*}$ besteht.

2) $\begin{align*} a_n\leq \sqrt{x}\leq b_n \end{align*}$ , damit auch tatsächlich $\begin{align*} \sqrt{x}\in[a_n,b_n] \end{align*}$ für alle $\begin{align*} n \end{align*}$ gilt.

3) $\begin{align*} \lim_{n\to\infty} (b_n-a_n) = 0 \end{align*}$ , damit sich die Intervalle auch tatsächlich auf diesen einen Punkt zusammenziehen.

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