Funktion stetig in Punkt X0 und f(x+y)<=f(x)*f(y) folgt f ist stetig

13.12.2016, 12:34

Stetigsein

Funktion stetig in Punkt X0 und f(x+y)<=f(x)*f(y) folgt f ist stetig

Meine Frage:
Hallo,
also ich soll Zeigen, dass wenn eine Funktion in dem Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(0) = 1 \end{eqnarray*}$ stetig ist und es gilt $\begin{eqnarray*} f(x+y)\leq f(x)*f(y) \end{eqnarray*}$ , dass dann f für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ stetig ist.

Meine Ideen:
Also wenn f in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ stetig ist, das heisst ja:
$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 \forall x: |x| < \delta \Rightarrow |f(x) - 1| < \epsilon \end{eqnarray*}$
Aber ich komm da irgendwie nicht weiter..

13.12.2016, 18:15

HAL 9000

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Zitat:

Original von Stetigsein
Also wenn f in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ stetig ist, das heisst ja:
$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 \forall x: |x| < \delta \Rightarrow |f(x) - 1| < \epsilon \end{eqnarray*}$

Das ist richtig, und genau das, was du im folgenden verwenden darfst - und auch solltest!

Noch ein Hinweis: Für $\begin{align*} x'=x+y \end{align*}$ hat man $\begin{align*} f(x')\leq f(x'-y)\cdot f(y) \end{align*}$ , und ist zusätzlich $\begin{align*} f(y)>0 \end{align*}$ , so folgt mit $\begin{align*} y'=-y \end{align*}$ dann

$\begin{align*} f(x'+y') \geq \frac{1}{f(-y')}\cdot f(x') \end{align*}$

Umparametriert hat man also die Einschachtelung

$\begin{align*} \frac{1}{f(-y)}\cdot f(x) \leq f(x+y) \leq f(y)\cdot f(x) \end{align*}$ für alle $\begin{align*} y \end{align*}$ mit $\begin{align*} f(-y)>0 \end{align*}$ .

Und jetzt betrachtet man $\begin{align*} y\to 0 \end{align*}$ .

13.12.2016, 18:31

Stetigsein

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Zitat:

Original von HAL 9000

Noch ein Hinweis: Für $\begin{align*} x'=x+y \end{align*}$ hat man $\begin{align*} f(x')\leq f(x'-y)\cdot f(y) \end{align*}$ , und ist zusätzlich $\begin{align*} f(y)>0 \end{align*}$ , so folgt mit $\begin{align*} y'=-y \end{align*}$ dann

$\begin{align*} f(x'+y') \geq \frac{1}{f(-y')}\cdot f(x') \end{align*}$

Umparametriert hat man also die Einschachtelung

$\begin{align*} \frac{1}{f(-y)}\cdot f(x) \leq f(x+y) \leq f(y)\cdot f(x) \end{align*}$ für alle $\begin{align*} y \end{align*}$ mit $\begin{align*} f(-y)>0 \end{align*}$ .

Und jetzt betrachtet man $\begin{align*} y\to 0 \end{align*}$ .

Soweit komme ich mit, aber haette noch paar Fragen und zwar, $\begin{align*} f(y)>0 \end{align*}$ folgt das daraus, weil f keine Nullstelle hat und in $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ stetig ist?
Und bei der einschachtelung, wie kommst du da wieder auf $\begin{align*} f(x+y) \end{align*}$ ?

Und wenn man jetzt $\begin{align*} y\to 0 \end{align*}$ betrachtet, dann bekaeme man ja:
$\begin{align*} \frac{1}{f(0)}\cdot f(x) \leq f(x+0) \leq f(0)\cdot f(x) \end{align*}$
was gleich ist zu:
$\begin{align*} \frac{1}{1)}\cdot f(x) \leq f(x) \leq 1\cdot f(x) \end{align*}$
Aber wie hilft mir das weiter?

13.12.2016, 18:47

HAL 9000

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Zitat:

Original von Stetigsein
$\begin{align*} f(y)>0 \end{align*}$ folgt das daraus, weil f keine Nullstelle hat und in $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ stetig ist?

Ich habe nirgendwo was davon gesagt, dass "f(y)>0 folgt", sondern nur, dass man unter der Voraussetzung f(y)>0 so unformen darf, wie ich es getan habe. Es ist allerdings so, dass man aufgrund der vorausgesetzten Stetigkeit im Nullpunkt zusammen mit f(0)=1 eine Nullumgebung findet, in der die Funktion positiiv ist - das gehört zum nächsten Schritt.

Zitat:

Original von Stetigsein
Und bei der einschachtelung, wie kommst du da wieder auf $\begin{align*} f(x+y) \end{align*}$ ?

Hab ich doch gesagt: Umparametriert! Damit ist gemeint, dass man

Zitat:

$\begin{align*} \frac{1}{f(-y')}\cdot f(x') \leq f(x'+y') \end{align*}$ für alle reellen $\begin{align*} x',y' \end{align*}$ mit $\begin{align*} f(-y')>0 \end{align*}$ .

auch inhaltlich genausogut schreiben kann

Zitat:

$\begin{align*} \frac{1}{f(-y)}\cdot f(x) \leq f(x+y) \end{align*}$ für alle reellen $\begin{align*} x,y \end{align*}$ mit $\begin{align*} f(-y)>0 \end{align*}$ .

Zitat:

Original von Stetigsein
Und wenn man jetzt $\begin{align*} y\to 0 \end{align*}$ betrachtet, dann bekaeme man ja:
$\begin{align*} \frac{1}{f(0)}\cdot f(x) \leq f(x+0) \leq f(0)\cdot f(x) \end{align*}$

Ich hab nicht gesagt "y=0 einsetzen", sondern du sollst über den Grenzübergang $\begin{align*} y\to 0 \end{align*}$ nachdenken.

13.12.2016, 21:26

Stetigsein

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Sorry, stehe gerade aufm schlauch.
Also die Schritte habe ich jetzt verstanden, aber was ich genau sehen soll wenn ich [latex] y \to 0 [\latex] betrachte, weiss ich nicht..

13.12.2016, 22:27

Stetigsein

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Also ich habe jetzt noch gezeigt, dass log(f(x)) stetig für alle x ist. aber das gilt ja nur, wenn [latex] f(x) > 0 [\latex] ist. Was mache ich wenn [latex] f(x) < 0 [\latex] ist?

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