Stetig Differenzierbar

13.12.2016, 14:20

Mathe<3

Stetig Differenzierbar

Meine Frage:
Hallo alle zusammen ich habe folgende Aufgabe(siehe Bild)

Wie zeige ich das am besten ?

Meine Ideen:
Kann ich einfach zeigen das das Produkt zweier Stetigen Funktionen wieder Stetig ist ?

und zu Differenzierbarkeit soll ich einfach versuchen abzuleiten ?

13.12.2016, 14:42

klarsoweit

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RE: Stetig Differenzierbar

Zitat:

Original von Mathe<3
Kann ich einfach zeigen das das Produkt zweier Stetigen Funktionen wieder Stetig ist ?

Dazu müßte aber sin(1/x) in x=0 stetig sein. Und ist es das?

Zitat:

Original von Mathe<3
und zu Differenzierbarkeit soll ich einfach versuchen abzuleiten ?

Einfach ableiten geht nur, wenn du es mit differenzierbaren Funktionen zu tun hast. Mit 1/x hast du aber in x_0=0 ein Problem. Augenzwinkern

Ich würde da zur Definition der Differenzierbarkeit greifen.

13.12.2016, 14:57

Mathe<3

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RE: Stetig Differenzierbar
Achja stimmt Augenzwinkern

Nadann kannst du mir ein Ansatz geben ?

13.12.2016, 15:15

klarsoweit

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RE: Stetig Differenzierbar
Nun ja, x_0 = 0 ist die einzig wirklich interessante Stelle. Ich würde somit zeigen, daß $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} f(x) = f(0) \end{eqnarray*}$ ist. Augenzwinkern

13.12.2016, 15:20

Mathe<3

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RE: Stetig Differenzierbar
Alles klar.

Der Funktionswert ist ja schon vorgegeben also f(0)=0

Der Links und Rechtsseitige Grenzwert existiert und ist der selbe also existiert der Einseitige Grenzwert mit

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} f(x)=0 \end{eqnarray*}$

also ist der Grenzwert an der stelle x0 gleich dem Funktionswert.

Freude

und jetzt zur differenzierbarkeit

13.12.2016, 15:24

Mathe<3

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RE: Stetig Differenzierbar
Also :

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{x*sin(\frac{1}{x}) }{0} \end{eqnarray*}$

Der Grenzwert exisiteirt nicht da 0 nicht Definiert ist oder ? verwirrt

13.12.2016, 15:27

Mathe<3

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RE: Stetig Differenzierbar
Ich meinte

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{x*sin(\frac{1}{x}) }{x} \end{eqnarray*}$

13.12.2016, 15:31

Mathe<3

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RE: Stetig Differenzierbar
Achso dies Divigiert weil wenn wir für x eine zahl einsetzen die sehr nah an 0 ist läuft dies gegen 0 + unendlich

stimmt das ?

13.12.2016, 15:40

klarsoweit

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RE: Stetig Differenzierbar

Zitat:

Original von Mathe<3
Der Links und Rechtsseitige Grenzwert existiert und ist der selbe also existiert der Einseitige Grenzwert mit

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} f(x)=0 \end{eqnarray*}$

also ist der Grenzwert an der stelle x0 gleich dem Funktionswert.

Ich hoffe, dazu steht auf deinem Zettel auch eine ausführlichere Rechnung. smile

Zitat:

Original von Mathe<3
Achso dies Divigiert weil wenn wir für x eine zahl einsetzen die sehr nah an 0 ist läuft dies gegen 0 + unendlich

Nun ja, das mit der Divergenz stimmt, aber mit "unendlich" ist da nichts. Außerdem sollte die Divergenz auch konkreter bewiesen werden. smile

13.12.2016, 15:47

Mathe<3

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RE: Stetig Differenzierbar
Also so :

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0+} 0.0001* sin(1/0.001) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0-} -0.0001* sin(1/-0.001) = 0 \end{eqnarray*}$

und da die gleich sind muss der beidseitge Grenzwert auch gleich diesem sein verwirrt

Wie soll ich beweisen das es Divergenz ist ?

13.12.2016, 15:55

klarsoweit

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RE: Stetig Differenzierbar

Zitat:

Original von Mathe<3
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0+} 0.0001* sin(1/0.001) = 0 \end{eqnarray*}$

Das ist natürlich Unfug. Zum einen ist $\begin{eqnarray*} 0.0001* sin(1/0.001) \neq 0 \end{eqnarray*}$ , zum anderen kannst du nicht für x irgendwas einsetzen und sagen, "na ja, das liegt dicht bei Null; da wird Null schon der Grenzwert sein."

Überlege dir, welchen Wert $\begin{eqnarray*} |sin(\frac 1 x)| \end{eqnarray*}$ maximal haben kann und warum.

Zitat:

Original von Mathe<3
Wie soll ich beweisen das es Divergenz ist ?

Finde zwei geeignete Nullfolgen x_n und z_n, so daß $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} sin(\frac{1}{x_n}) \neq \lim_{n \to \infty} sin(\frac{1}{z_n}) \end{eqnarray*}$ ist. smile

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