Matlab Gleichungssysteme lösen

13.12.2016, 15:23

giusi

Matlab Gleichungssysteme lösen

Ich versuche gerade das Galerkin Verfahren in Matlab zu programmieren. Dabei bin ich bei der Berechnung der Basisfunktionen stehen geblieben.

Ich habe folgende Rahmenbedingungen:

y(0)=0, y'(1)=1

bzw.

1*y(0)+0*y'(0)=0
1*y(1)+0*y'(1)=1

nun für u0 funktioniert mein Programm und liefert richtig für u0(x) = x

dann müsste das Porgramm für u1(x) das Gleichungssystem:

1*c + 0*b=0
0*(a+b+c) + 1*(2*a+b)=1 auflösen

ich habe es mit der Funktion solve ([funktion1,funktion2],[a,b,c]); versucht. und das Programm liefert mir a=0.5 ; b=0 und c=0. Ich sollte jedoch für u1(x)= x(1-x) erhalten. Ich gehe davon aus, dass die Funktion solve das Problem ist.
Es wäre super, wenn mir jemand helfen könnte.

13.12.2016, 15:52

zyko

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RE: Matlab Gleichungssysteme lösen

Zitat:

1*y(1)+0*y'(1)=1

Ich nehme an,dass dies $\begin{eqnarray*} 0*y(1)+1*y'(1)=1 \end{eqnarray*}$
heißen muss, gemäß den Anfangsbedingungen.

Für "solve" musst du hier zwei Funktionen in x ansetzen
vgl.
https://de.mathworks.com/help/symbolic/s...rks.com#buhn5zh
Abschnitt:

syms a b c x
eqn = a*x^2 + b*x + c == 0;
solx = solve(eqn, x)

z.B.
funktion1 = a*x^2 + b*x + c == 0;
funktion2 = 2*a*x + b == 0;

Beachte: bei dir ist die Unbekannte nicht x sondern [a, b, c].
Soweit ich mich erinnern kann, arbeitet das Galerkin-Verfahren häufig mit Ansatzfunktionen.
In diesem Fall sollten dies Ansatzfunktionen auch bei deinen Funktionen 1 und 2 auftreten, bzw. deren Ableitungen.

Anhang: ich habe zwar einiges an Erfahrung mit matlab aber nicht speziell mit symbolischen Umformungen, hier mittels "solve". Lies dir deshalb die matlab Hilfe dazu durch.

13.12.2016, 16:07

giusi

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RE: Matlab Gleichungssysteme lösen
Hallo zyko

danke für deine Antwort

genau wir nennen die Ansatzfunktionen "Basisfunktionen". Genau diese müsste ich mit meinem Code generieren.

Gegeben sind nur die Randbedingungen und einma x=0 und einmal x=1. Wenn ich dann meine allgemein formulierte Ansatzfunktionen (u1(x)= ax^2+bx+c ) und deren Ableitungen (u1'(x)= 2ax+b) zur Berechnung der effektiven Ansatzfunktion für die gegebenen Randbedingungen kriege ich aber falsche Koeffizienten für a,b und c.

Dein Bespiel zeigt wie ich eine Funktion nach x auflöse richtig? Wie würdest du denn das unten aufgezeigten Gleichungssystem lösen um a, b und c zu berechnen?

DAnke nochmals

13.12.2016, 17:21

zyko

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RE: Matlab Gleichungssysteme lösen
Der Begriff Basisfunktionen bedeutet, dass diese Funktionen einen Vektorraum aufspannen und paarweise orthogonal sind im Sinne eines Skalarprodukt, z.B.
$\begin{eqnarray*} \int_0^1 u_i(x) u_j(x) dx = \delta_{ij} \end{eqnarray*}$ (Kronecker Symbol)
Oft werden die Funktionen so normiert, dass ihr Innenprodukt 1 ergibt.
Deine erste Funktion $\begin{eqnarray*} u_0(x)=x \end{eqnarray*}$ ist aber nicht orthogonal zu $\begin{eqnarray*} u_1(x)=x(1-x) \end{eqnarray*}$
Achte darauf, dass diese Basisfunktionen die Voraussetzungen erfüllen, andernfalls sind die Lösungen für [a, b, c] nicht eindeutig.

S. auch
https://de.wikipedia.org/wiki/Galerkin-Methode
Im Abschnitt
"Detailliertere Darstellung" wird an Hand eines Beispiels gezeigt, dass die Basisfunktionen nicht berechnet sondern vorgegeben werden, aber deren Vorfaktoren $\begin{eqnarray*} c_i \end{eqnarray*}$ und zwar so, dass das betrachtete Funktional am besten approximiert wird.
Als Ansatz ist dann möglich:
$\begin{eqnarray*} y(x)=au_0(x)+bu_1(x)=ax+bx(1-x) \end{eqnarray*}$
Hierbei ergibt sich aber für a und b durch die Randbedingungen keine eindeutige Lösung.

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