Real- und Imaginärteil von tan(z)

13.12.2016, 15:54	Hannnah	Auf diesen Beitrag antworten »
Real- und Imaginärteil von tan(z) Meine Frage: Hallo Ich soll den Real- und Imaginärteil von tan(z) bestimmen. $\begin{eqnarray} tan(z):= \frac{1}{i} \frac{e^{2iz} -1}{e^{2iz} +1} \end{eqnarray}$ Außerdem habe ich folgendes verwendet $\begin{eqnarray} e^{z}=e^{x+iy} = e^{x} e^{iy} = e^{x} \left(cos(y)+isin(y)\right) \end{eqnarray}$ Meine Ideen:* Ich rechne da jetzt schon eine ganze Weile dran herum, habe es auch schon über tan=sin/cos und den entsprechenden Definitionen im Komplexen versucht, aber am Ende kommt zB für den Realteil folgendes raus: $\begin{eqnarray} \frac{cos(2x)sin(2x)\left(e^{-2y}-e^{-4y} \right)+sin(2x)(e^{-2y}+1) }{e^{-4y}+2e^{-2y}cos(2x)+1 } \end{eqnarray*}$ Ich kann mir irgendwie nicht vorstellen, dass das ein sinnvolles Ergebnis sein soll. Übersehe ich einen "Trick" mit dem ich hier umformen sollte oder ist mein Ansatz (stur mit der Definition ausrechnen) schon generell falsch? Ich freue mich über alle Tipps und Hinweise!
13.12.2016, 20:17	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Ergebnis ist leider nicht schöner, wobei deines zwar im Nenner ähnlich des richtigen Resultates ist, aber der Zähler ist sicher falsch. Versuche jedenfalls, den Bruch mit $\begin{eqnarray} e^{4y} \end{eqnarray}$ zu erweitern, damit keine negativen Exponenten auftreten (!) Es sollte sein (mit Verwendung der Funktionen der doppelten Winkel x): $\begin{eqnarray} \mathfrak{Re} (\tan z) = \frac{2e^{2y}\sin(2x)}{e^{4y}+2e^{2y}\cos(2x)+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathfrak{Im} (\tan z) = \frac{e^{4y} - 1}{e^{4y}+2e^{2y}\cos(2x)+1} \end{eqnarray}$ EDIT: Schreibfehler korrigiert! mY+
13.12.2016, 21:54	Hannnah	Auf diesen Beitrag antworten »
Herzlichen Dank! Durch deinen Hinweis den Bruch so zu erweitern, dass keine negativen Exponenten auftreten, bin ich jetzt viel weiter gekommen Allerdings ist bei meinem Ergebnis im Nenner e^4y und nicht e^4x. Ist das ein Tippfehler oder habe ich mich schon wieder verrechnet?
13.12.2016, 21:58	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du liegst bei deinem Nenner richtig, es ist ein Tippfehler von mir ! Ich werd's gleich editieren!
13.12.2016, 22:51	Hannnah	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, sehr gut, dann hab ichs jetzt! Vielen Dank!

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