Hypergeometrische Verteilung - WSK dass einer von 6 Schlüsseln passt

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Roadrunner_00 Auf diesen Beitrag antworten »
Hypergeometrische Verteilung - WSK dass einer von 6 Schlüsseln passt
Meine Frage:
Hallo,

Genau einer von sechs sehr ähnlichen Schlüsseln passt in eine bestimmte Tür. Sie probieren in zufälliger Reihenfolge die Schlüssel, bis einer passt. Wie viele Schlüssel müssen Sie im Durchschnitt ausprobieren?

Meine Ideen:
Hierbei handelt es sich um eine Hypergeometrische Verteilung mit dem Umfang N=6, M=1 (Anzahl der Elemente die zum Erfolg führen) und die Trefferwsk. =

Gesucht ist der Erwartungswert. Die Formel hierfür lautet:



Aber was setze ich in meinem Fall für n ein?

Zitat aus Skript:
Zieht man aus einer Gesamtheit vom Umfang N, in der M Elemente eine bestimmte Eigenschaft
besitzen (also einen "Erfolg" darstellen, wenn sie ausgewählt werden), n Elemente mit Zurücklegen,so ist X, die Anzahl der gezogenen Elemente mit der bestimmten Eigenschaft, binomialverteilt.

Zieht man hingegen nicht mit, sondern ohne Zurücklegen, sind die einzelnen Züge nicht voneinander unabhängig, daher ist die Anzahl X nicht mehr exakt binomialverteilt...man nennt diese hypergeometrisch Verteilt.


Also n ist doch die Anzahl wie oft ich etwas mache, das weiss ich aber doch im Vorhinein nicht.

Danke
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, man kann natürlich eine Verbindung zu einer Hypergeometrischen Verteilung ziehen, etwa so:

Wir unterteilen die Schlüsselmenge von Schlüsseln in passende Schlüssel sowie nicht passende Schlüssel. Wählen wir jetzt aus den Schlüsseln aus (d.h. ohne Zurücklegen), so gibt



die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass der passende Schlüssel unter den ausgewählten Schlüsseln dabei ist. Kennzeichnet die Zufallsgröße die Anzahl der auszuprobierenden Schlüssel, bis man den richtigen gefunden hat, so entspricht diese Wahrscheinlichkeit dem Wert . Aus für folgt nun wieder sofort

für ,

das ist einfach eine diskrete Gleichverteilung auf den Werten , also wie beim Würfeln.


Natürlich muss man nicht unbedingt die Hypergeometrische Verteilung bemühen, um zu dieser Erkenntnis zu gelangen, es geht auch banaler: Aus der Symmetrie des Problems ist an sich offenkundig, dass der Schlüssel an jeder Position 1..6 der auszuprobierenden Schlüsselreihenfolge gleichberechtigt stehen kann, und sich somit diese diskrete Gleichverteilung direkt ergibt. Augenzwinkern
Roadrunner_00 Auf diesen Beitrag antworten »

ok, vielen dank
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hypergeometrische Verteilung - WSK dass einer von 6 Schlüsseln passt
Zitat:
Wie viele Schlüssel müssen Sie im Durchschnitt ausprobieren?


Sei die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Versuch den richtigen Schlüssel zu finden, dann ist



Sei die Wahrscheinlichkeit, genau beim zweiten Versuch den richtigen Schlüssel zu finden, dann ist



Sei die Wahrscheinlichkeit, genau beim zweiten Versuch den richtigen Schlüssel zu finden, dann ist



Und so geht es weiter bis



Sei die durchschnittliche Anzahl Versuche, dann ist:



D.h. man muß im Schnitt 3,5 mal einen Schlüssel probieren.
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