Intervallhalbierungsverfahren |
| 14.12.2016, 20:04 | KeinPlan99 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Intervallhalbierungsverfahren Hallo! a.)Löse die Gleichung x³+2x-8=0 mit dem Intervallhalbierungsverfahren auf zwei Dezimalen genau. b.)Schätze den Fehler c_n:= Betrag von d_n-x_0, der beim n-ten Schritt des Verfahrens passiert ab. x_0 ist die Nullstelle einer reellen Funktion bzw. Lösung einer Gleichung über R und d_n der n-te Nährerungswert. c.) Wie viele Schritte braucht man (max.) beim Intervallhalbierungsverfahren und einen Fehler c_n kleiner als 10^-9 zu erhalten? Es geht dabei um das Intervall [a_1;b_1] der Länge 1 Meine Ideen: a.) Ich hab jetzt 13 Schritte gemacht und bin auf das Intervall [1,670166016;1,670410156] gekommen. Meine Frage ist jetzt wieso gibt es eine Lösung in R und wie viele reelle Lösungen gibt es? b.) Ich weiß nicht genau wie man den Fehler abschätzen kann c.) hier dasselbe wie bei b.) |
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| 15.12.2016, 12:49 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wird auch Bisektionsverfahren genannt. --> https://de.wikipedia.org/wiki/Bisektion Im Board gab es dies dort: --> Näherungslösung Die umfangreiche Rechenarbeit wird man selbstverständlich mit einem CAS erledigen (Excel, ..) Womit hast du deine Ergebnisse erzielt? Eine kubische Gleichung hat (immer!) mindestens eine reelle Lösung. Dies ergibt sich aus dem Fundamentalsatz der Algebra bzw. der Zerlegung des Polynoms in Linearfaktoren Es ist allerdings nicht gesagt, dass es nur eine reelle Lösung gibt, es könnten auch deren drei existieren. Wenn es nur eine reelle Lösung gibt, sind die anderen beiden konjugiert komplex. Du musst also den Startwert in die Nähe der vermuteten Lösung legen. Sinnvoll ist dabei das Erstellen einer Wertetabelle. Zwischen jenen beiden (eng beieinander liegenden) x-Werten, bei deren Funktionswerten ein Vorzeichenwechsel eintrittt, befindet sie die Nullstelle. Die Fehlerabschätzung ergibt sich praktisch aus dem Vergleich des n-ten Näherungswertes mit dem n-1 ten. Diese Differenz muss üblicherweise kleiner als die vorgegebene Toleranz sein. [attach]43316[/attach] Bei der geforderten Toleranz von musst du - wie ersichtlich - mindestens 31 Iterationsschritte gehen. Die beiden Iterationswerte dürfen sich erst ab der 10. Dezimalstelle unterscheiden (--> 1,670244697), d.h. die ersten 9 Dezimalstellen müssen gleich sein. Daher ist das Bisektionsverfahren das am langsamsten konvergierende Verfahren, Regula Falsi bzw. Newton sind viel schneller. mY+ |
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