Umkehrfunktion einer Summe unterschiedlicher Potenzen |
| 14.12.2016, 20:49 | diemathe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Umkehrfunktion einer Summe unterschiedlicher Potenzen Huhu, ich stehe vor einem kleinen Problem und zwar versuche ich seit stunden auf eine Lösung zu kommen, bisher konnte mir nichts helfen, kein querdenken, kein Google, kein YouTube und auch kein Freund. Ich soll die Umkehrfunktion von f(x) = 2x^5+x^3 berechnen. Und eine weitere Frage, bin hier neu, kann ich hier auch Leuten die Fragen haben helfen, ich hätte Interesse? Verstehe den Aufbau des Forums nicht so ganz :/ Meine Ideen: Bisher bin ich nur zu Folgender Lösung gekommen, die im Plotter zwar schon in die richtige Richtung geht, aber eben nicht wirklich gut passt. y = 2x^5+x^3 Dann habe ich die Funktion in zwei Funktionen aufgeteilt: y = g(x) + h(x) g(x) = 2x^5 h(x) = x^3 und diese Umgekehrt g^(-1)(x) = (x/2)^(1/5) h^(-1)(x) = (x)^(1/3) Und anschließend wieder addiert: f^(-1)(x) = (x/2)^(1/5) + x^(1/3) Der Graph sieht zwar schon ähnlich der Funktion, die ich erwartet habe aus, aber eben nicht wirklich so wie er sein sollte da er nicht an der Funktion x gespiegelt ist. Und irgendwie wäre das ja auch zu leicht gewesen, ist schließlich eine Aufgabe von der Uni. Ich habe mich mit Äquivalenzumformungen ausgetobt und auch mal "alternative" Dinge ausprobiert (also einfach mal dividiert oder subtrahiert anstatt zu addieren) oder die Wurzel über einen kompletten Ausdruck gezogen, da kam nie was bei raus. Bei Wolfram Alpha kamen nur irgendwelche kryptischen Zeichen raus mit denen ich nichts anfangen kann und die wir nicht mal annähernd in unseren Vorlesungen hatten. Über ausklammern habe ich es auch schon versucht am Ende kam aber irgendwie immer nur wieder die Ausgangsgleichung raus. Nunja, morgen früh ist abgabe und ich bin echt ratlos sitze seit 17 Uhr an dieser Aufgabe, die auf dem Übungsblatt am einfachsten aussah aber sich als die Einzige, die ich nicht lösen kann herausstellt. Bitte um Hilfe, vielen Dank schonmal! |
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| 14.12.2016, 21:54 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich befürchte, du kannst die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion gar nicht explizit angeben. Wie lautet denn die genaue Aufgabe? Ist es evtl. gar nicht nötig, die Funktionsgleichung zu bestimmen? Hier im Board kann jeder helfen, der meint, etwas vom Thema zu verstehen. 
Lies dir gern auch das Boardprinzip durch. 
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| 14.12.2016, 22:02 | diemathe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hey, erstmal danke für die Antwort. Ich habe jetzt auch rausgefunden wie man einen Account macht, hatte das irgendwie beim ersten mal nicht gesehen, danke für die Info
Die genaue Aufgabenstellung lautet: Gegeben sei die reelle Funktion: f(x) = 2x^5+x^3 Bestimmen Sie die Tangente der Umkehrfunktion f^(-1)(y) an der Stelle y = 3. Jetzt wo du das sagst, dass man die Umkehrfunktion vielleicht garnicht braucht kommt mir eine andere Idee: Würde es hinhauen, wenn Ich die Tangente an der Stelle y = 3 der Funktion f(x) ausrechne und dann von dieser die Umkehrfunktion bestimme? |
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| 14.12.2016, 22:19 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Na dann, 
im Matheboard!Wie ich vermutet habe: Die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion brauchst du gar nicht. Du sollst hier sicherlich die Regel zur Ableitung der Umkehrfunktion anwenden. Und damit nicht manche Leute auf die Idee kommen, doch die Funktionsgleichung explizit zu bestimmen, hat man eine Funktion genommen, bei der das gar nicht möglich ist.
Also: Schau in deinem Skript nach, wie man die Ableitung der Umkehrfunktion bestimmt.
So würde es auch gehen. Nur bestimmst du die Tangente an nicht an der Stelle y=3, sondern an der Stelle x=..., die den Funktionswert y=3 hat. |
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| 14.12.2016, 22:30 | diemathe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke! Das nenn ich mal Dummheit. Die Regel zur Ableitung einer Umkehrfunktion kenn ich! In und Auswendig! Aber auf die Idee kommen sie zu benutzen? niemals. 
Vielen Dank für den Hinweis, jetzt ist die Aufgabe ja doch wieder leicht... und ich sitz da ewig davor. 
Naja, ich denke jetzt werde ich diesen Fehler nie mehr begehen 
Danke! |
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| 14.12.2016, 22:57 | diemathe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich bin's nochmal, mir fällt gerade auf dass ich dafür doch trotzdem die Umkehrfunktion brauche oder irre ich mich? Der Satz heißt ja: Die Ableitung der Umkehrfunktion ist der Kehrwert der Ableitung der normalen funktion, verkettet mit der Umkehrfunktion. Also wenn f(x) die Funktion und g(x) die Umkehrfunktion ist stünde da: g'(x) = 1/(f'(g(x))) und g(x) ist ja die Umkehrfunktion mit der ich verkette. Also brauche ich sie jetzt doch oder was übersehe ich? Heute scheint echt nicht mein Tag zu sein, sorry dafür 
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| 14.12.2016, 23:11 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Für bestimmte Stellen kann man den Funktionswert der Umkehrfunktion angeben, aber nicht für alle. Du willst bestimmen, brauchst also einen speziellen Funktionswert der Umkehrfunktion, nämlich . Den zu bestimmen, sollte kein Problem sein. |
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| 14.12.2016, 23:25 | diemathe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich stehe leider komplett auf dem Schlauch Muss ich dann 3 einfach für y einsetzen? Also: 3 = 2x^5+x^3 ? |
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| 14.12.2016, 23:27 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau. Die Lösung dieser Gleichung ist . Mit etwas scharfem Hinsehen kannst du die Lösung sofort finden.
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| 14.12.2016, 23:36 | diemathe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Durch scharfes hinsehen hab ich rausgefunden das x = 1 ist. Durch Äquivalenzumformung hab ich es allerdings nicht geschafft. Bin ich unfähig oder ist das nicht möglich? |
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| 14.12.2016, 23:40 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich denke, um das "scharfe Hinsehen" kommt man nicht herum. Wenn es durch Äquivalenzumformungen möglich wäre, würde das auch funktionieren, wenn auf der linken Seite der Gleichung irgendeine andere Zahl steht. Das würde aber auch bedeuten, dass man die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion angeben könnte. Und das ist wie gesagt nicht möglich. |
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| 14.12.2016, 23:47 | diemathe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Alles klar. Um nun auf die Tangente zu kommen brauche ich ja die Lineare gleichung: y = mx+b mein m an der Stelle 3 ist 1/837 Das heißt, ich habe y = 1/873 * x + b m wurde ja für den punkt x = 3 ausgerechnet, muss ich dann also schreiben: 3 = 1/873 * x + b? Und wie komme ich auf den x wert? (sry hier war mir ein dreher passiert) |
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| 14.12.2016, 23:52 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wieso 1/837? Du hast anscheinend berechnet. Es gilt aber . |
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| 14.12.2016, 23:57 | diemathe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ah stimmt, also ist m = 1/11. Dann habe ich y = 1/11 x + b y = 3, x = 1 also: 3 = 1/11 * 1 + b => b = 32/11 Also ist die Tangente: y = 1/11 x + 32/11 ? |
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| 15.12.2016, 00:08 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Rechne nochmal nach, es muss m=1/13 rauskommen. Und dann hast du die x- und y- Werte vertauscht. Ohne den Koordinaten konkrete Namen zu geben, kann man sich das so überlegen: Der Graph der Umkehrfunktion verläuft durch den Punkt . In diesem Punkt sollst du die Tangente bestimmen. Die Tangente muss also durch diesen Punkt verlaufen und den Anstieg haben. Damit muss gelten: . |
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| 15.12.2016, 00:19 | diemathe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ah sry wieder mal was vertauscht |
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| 15.12.2016, 00:24 | diemathe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also habe ich jetzt für die Tangente raus: t(x) = (1/13)x + (10/13) Stimmt es diesmal? kann schon garnicht mehr rechnen 
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| 15.12.2016, 00:27 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Alles gut. Jetzt stimmt es.
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| 15.12.2016, 00:28 | diemathe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wow, das hat gedauert... Danke für deine Hilfe und Geduld!
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